پنجم دبستان کتاب معل م )راهنمای تدریس(

Transcript

1 پنجم دبستان کتاب معل م )راهنمای تدریس( 1394

2 وزارت آموزش و پرورش سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی نام کتاب: پدیدآورنده: کتاب معل م ریاضی پنجم دبستان 70 سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی مدیریت برنامه ریزی درسی و تألیف: دفتر تألیف کتاب های درسی عمومی و متوسطه نظری شناسه افزوده برنامه ریزی و تألیف: مدیریت آمادهسازی هنری: شناسه افزوده آماده سازی: نشانی سازمان: ناشر: چاپخانه: سال انتشار و نوبت چاپ: چاپ او ل 1394 حمیدرضا امیری علی ایرانمنش مهدی ایزدی طیبه حمزه بیگی خسروداودی محم دهاشم رستمی ابراهیم ریحانی محم درضا سی دصالحی احمد شاهورانی میرشهرام صدر شادی صفی نیا اکرم قابل رحمت و محم د مقاصدی )اعضای شورای برنامه ریزی( مهدی ایزدی زهره پندی خسرو داودی زهرا رحیمی محم د هاشم رستمی ابراهیم ریحانی شادی صفی نیا فیروزه فروزبخش و مجتبی قربانی آرانی )اعضای گروه تألیف( افسانه حج تی طباطبایی )ویراستار( اداره کل نظارت بر نشر وتوزیع مواد آموزشی لیدا نیک روش )مدیر امور فنی وچاپ( شهرزاد قنبری )صفحه آرا( مریم دهقان زاده حسین قاسم پوراقدم علی مظاهری نظری فر فریبا سیر فاطمه رئیسیان فیروزآباد راحله زاد فتح اله )امور آماده سازی( تهران: خیابان ایرانشهر شمالی ساختمان شمارۀ ٤ آموزش و پرورش )شهید موسوی( تلفن: ٩ ٨٨٨٣١١٦١ دورنگار: ٨٨٣٠٩٢٦٦ کد پستی: ١٥٨٤٧٤٧٣٥٩ وبگاه: و اداره کل نظارت بر نشر وتوزیع مواد آموزشی شرکت افست»سهامی عام«( ) کلیه حقوق مادی و معنوی این کتاب متعلق به سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی وزارت آموزش و پرورش است و هرگونه استفاده از کتاب و اجزای آن به صورت چاپی و الکترونیکی و ارائه در پایگاه های مجازی نمایش اقتباس تلخیص تبدیل ترجمه عکسبرداری نقاشی تهیه فیلم و تکثیر به هر شکل و نوع بدون کسب مجوز ممنوع است و متخلفان تحت پیگرد قانونی قرار می گیرند. ISBN شابک ٧٨

3 امید من به شما دبستانی هاست. امام خمینی )ره(

4 فصل 1 : عدد نویسی و الگوها یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی معرفی میلیارد جمع و تفریق عددهای مرکب الگوها فصل ٢: کسر کسرهای بزرگ تر از واحد جمع و تفریق عددهای مخلوط ضرب کسرها تقسیم کسرها ضرب عددهای مخلوط فصل ٣ : نسبت تناسب و درصد نسبت نسبت های مساوی تناسب درصد فصل ٤: تقارن و چندضلعی ها خط تقارن مرکز تقارن زاویه و نیمساز چندضلعی ها و مجموع زاویه های آنها فصل ٥: اعداد اعشاری عددهای اعشاری جمع عددهای اعشاری تفریق اعشار ضرب اعشار فصل ٦: اندازه گیری مساحت لوزی و ذوزنقه محیط دایره حجم گنجایش فصل ٧: آمار و احتمال جمع آوری و نمایش داده ها میانگین احتمال

5 سخنی با معل م کتاب ریاضی پایه پنجم در جهت اهداف برنامه درسی مل ی و در ادامه تغییر کتابهای درسی دوره ابتدایی تألیف شده است. زمانی تأکید کتابهای درسی ریاضی بیشتر بر توانایی انجام محاسبات بود. در رویکرد جدید ضمن توج ه به این هدف تأکید اصلی بر پرورش قو ه تفکر و تعق ل و رشد توانایی حل مسئله است. رسیدن به چنین هدفی مشکالت و دشواریهای فراوانی دارد و به سرعت امکانپذیر نیست ولی مد نظر قراردادن آن میتواند جهت اصلی حرکت جامعه آموزش ریاضی را تعیین کند. در این میان اصلیترین و مؤث رترین وظیفه بر عهده معل م قرار دارد. قدرت انعطاف و هماهنگی و همراهی معل مان با برنامههای جدید ستودنی است. بر این اساس مؤل فان کتاب حاضر سعی کردهاند برای انجام وظیفه خویش در مورد آموزش معل مان ضمن اط العرسانی مناسب و بهنگام درباره تألیف کتاب راهنمای معل م و نیز فیلمهای آموزشی مربوط را به موقع در اختیار این همکاران عزیز قرار دهند.

6 ساختار کتاب حاضر از سه بخش فع الیت کار در کالس و تمرین تشکیل شده است. آنچه در هر فع الیت بهطور عمده مد نظر بوده آشنایی دانشآموزان با مفهوم درس و سهیمبودن او در ساختن دانش مورد نظر است. فع الیتها شامل مراحلی مانند درک کردن کشفکردن حل مسئله استداللکردن بررسیکردن حدس و آزمایش توضیح راهحل مرت بکردن قضاوت در مورد یک راه حل و مقایسه راهحلهای مختلف است. هدایت فع الیتها به عهده معل م است و هرجا که الزم باشد معل م راهنمایی الزم را ارائه خواهد کرد. در بسیاری موارد انجامدادن فع الیت ساده وآسان نیست و صد البت ه اجرای مناسب آن ارزش زیادی دارد. فع الیتها در حد متوس ط طر احی شدهاند بنابراین معل م میتواند با توج ه به زمان و توانایی دانشآموزان خود یک فع الیت را غنیتر کند یا با ارائ ه توضیحات بیشتر و ایجاد تغییراتی آن را سادهتر نماید. هنگام انجام دادن فع الیت هدایت گفتوگوی کالسی یا گفتمان ریاضی که در آن دانشآموزان به ارائه دیدگاهها و دفاع از ایدههای خود و نیز قضاوت و ارزیابی افکار و روشهای ریاضی دیگر دانشآموزان میپردازند به عهده معل م است. بهطور خالصه فراهمکردن فرصتهای یادگیری و دادن مجال به دانشآموز برای اینکه خود به کشف مفهوم بپردازد میتواند یکی از دل مشغولیهای همکاران عزیزمان باشد. کار در کالس با هدف تثبیت و تعمیق و در مواردی تعمیم یادگیری طر احی شده و انتظار

7 این است که دانشآموزان بیشترین سهم را در انجام آن داشته باشند. حل تمرینها به عهده دانشآموزان است ام ا ضرورت دارد که معل م زمینه را برای طرح پاسخها و بررسی آنها در کالس فراهم سازد. در مورد ضرورت آموزش راهبردهای حل مسئله در میان پژوهشگران و آموزشگران تقریبا ات فاق نظر وجود دارد ام ا در مورد چگونگی انجام این کار نظرات متفاوت است. در این کتاب آموزش راهبردها از متن درس جدا نشده است. ضمنا اصراری بر ذکر عناوین راهبردها جز در موارد مشخ ص و آشنا نبوده است. بنابراین از آوردن عبارتها و واژههای نامأنوس پرهیز شده است. با آنکه بخش جداگانهای با عنوان»حل مسئله«در کتاب وجود ندارد دانشآموزان دراکثر فع الیتها به نوعی درگیر فرایند حل مسئله میشوند. عالوهبراین اساسا آموزش راهبردها ممکن است بهزمانی طوالنی نیاز داشته باشد زیرا هر راهبرد ممکن است شامل دهها راهبرد جزئیتر باشد. ارائه راهحلها و روشهای مختلف حل یک مسئله نیز بهصورت هدفمند دنبال شده است. پژوهشها نشانمیدهند که دانشآموزان هنگام روبهروشدن با یک مسئله به ویژه وقتی که الگوریتمی مشخ ص برای حل آن فرا نگرفته باشند به روشهای متفاوتی عمل میکنند. پس از آمادهشدن نسخه او لیه کتاب مؤل فان جلسات فشردهای را برای نقد و اصالح آن برگزارکردند و برخی تغییرات و اصالحات الزم را نیز در کتاب اعمال نمودند. نظرات حاصل از

8 اعتباربخشی و آرای دبیران سراسر کشور نیز دراین اصالحات مد نظر قرار گرفت. دراینجا الزم است مراتب تقدیر و تشکر خود را از همه همکارانی که نسخه او لیه کتاب را مطالعه نموده و نظرات و پیشنهادهای خود را به واحد تحقیق توسعه و آموزش ریاضی ارسال کردهاند ابراز نماییم. دهها نقد رسیده از سراسر کشور نویدبخش حضور و مشارکت مؤث ر آموزگاران گرامی در تألیف کتابهای درسی است. در کنار این مشاورانی از مراکز آموزشی و پژوهشی نیز بخشهایی از کتاب را مطالعه و نقد کردهاند که جا دارد از آنها نیز قدردانی شود. گروه تألیف آمادگی دریافت نظرات و دیدگاههای تمامی همکاران و عزیزان را از طریق وبگاه واحد تحقیق توسعه و آموزش ریاضی 1 دارد. بهعالوه بسیاری از مطالب مربوط به پشتیبانی کتاب ازطریق وبگاه یادشده قابل دریافت است. اطمینان داریم که با ات کال به خدای متعال و تکیه بر تالش اراده و هم ت معل مان عزیز میتوانیم به برآوردهشدن اهداف کتاب امیدوار باشیم. مؤل فان ١

9 1 عدد نویسی و الگوها نگاه کلی به فصل این فصل شامل 4 درس است. در درس او ل ضمن یادآوری عددنویسی تا 9 رقم و کامل کردن طبقۀ میلیون )تا صدگان میلیون( به رابطۀ بین ارزشهای مکانی رقمهای مختلف در جدول بیشتر از گذشته توجه خواهد شد. ضمن آنکه با چند بازی و فعالیت عملیات جمع و تفریق و ضرب و تقسیم عددهای طبیعی یادآوری و تکمیل میشود. در درس دوم طبقه میلیارد معرفیشده و مشابه آنچه در سال گذشته برای میلیون تدریس شده است مفاهیم مطرح میشوند. درس سوم به معرفی عددهای مرکب و جمع و تفریق آن در مورد زمان میپردازد و در انتها نیز مثالهایی از عددهای مرکب غیر از زمان نیز مطرح میشود. آخر این فصل به موضوع الگویابی اختصاصیافته و در ضمن آن الگوی عددهای مثلثی و مربعی معرفی میشوند. 1

10 مفهومی شبکه یکان نویسی گسترده حسابی اعداد هزار مکانی ارزش تقریبی مقدار میلیون اعداد مقایسه اعداد میلیارد مرکب اعداد وتفریق جمع الگویابی مربعی و مثلثی اعداد الگوی عنوانی تصویر درس این اصلی هدف و میشود معرفی میلیارد طبقه عددنویسی بخش در اینکه به توجه با جمعیت ازجمله مختلف مثالهای با میتوان است میلیارد طبقه عددهای بزرگی از درک ایجاد رد ذهنی تصور این تا کرد تالش کهکشان و ستارهها سیارهها تعداد یا و جهان کل و قارهها کشورها شود. ایجاد دانشآموزان معلم برای دانستنیهایی شوند. می آشنا آن با ریاضی یادگیری جریان در آموزان دانش که هست مفهومی اولین عدد مفهوم انسان توسط عدد اولیه پیدایش است. کرده کشف را آن انسان که هست مفهومی ترین انتزاعی همچنین قرار استفاده مورد دیگر های جنبه برای مرور به ولی بود شمارش برای آن از استفاده برای ابتدا در گرفت. 2

11 عدد دارای مفاهیم چندگانه هست که دانش آموزان برای آنکه بتوانند درک درستی از آن داشته باشند بایستی با مفاهیم مختلف آن آشنایی کامل داشته باشند. یکی از مفاهیم عدد مفهوم عدد اصلی مجموعه )کاردینالیتی( است. از این مفهوم عدد برای به دست آوردن و نمایش تعداد اعضای یک مجموعه استفاده می شود. به عنوان مثال در ظرفی که 4 سیب وجود دارد عدد 4 بیان کننده تعداد عضوهای این مجموعه )بشقاب( هست. مفهوم دیگر عدد مفهوم ترتیبی )اردینالیتی( آن است. از این مفهوم برای بیان ترتیب اشیا و جایگاه قرار گرفتن آن در یک ردیف استفاده می شود.به عنوان نمونه در شکل مقابل شکل در ردیف دوم از سمت چپ قرار گرفته است یا در حروف الفبای فارسی حرف»ت«چهارمین حرف از حروف الفبای فارسی هست. مفهوم اجزایی عدد مفهوم دیگری از عدد هست که در آن هر عددی به عنوان کلی متشکل از دو جزء کوچک تر درک می شود. مثال عدد 6 به عنوان کلی متشکل از دو جزء کوچک تر 4 و 2 در نظر گرفته می شود )درک می شود(. این مفهوم از عدد کاربرد بسیاری در محاسبه جمع و تفریق و حل مسائل کالمی و نمادی جمع و تفریق به روش های مختلف از جمله روش های غیر الگوریتمی و ذهنی دارد. دانش آموزان برای آنکه بتوانند درک درستی از مفهوم عدد داشته باشند و از آن به طور مناسب در محاسباتشان استفاده کنند نیاز به درک مناسب از هر سه مفهوم عدد دارند. عالوه بر درک جنبه های مختلف مفهوم عدد توسط دانش آموزان به این نکته باید توجه شود که در معرفی هر طبقه از اعداد موارد زیر نیز به همراه آن ارائه می شود: 1 معرفی مفهوم اعداد با استفاده از وسایل و موارد عینی مختلف )با استفاده از مکعب های کوئیزنر چینه ها پول و چرتکه( 2 معرفی نحوه عدد نویسی به عدد و حروف 3 نمایش اعداد در جدول ارزش مکانی 4 گسترده نویسی اعداد 5 تقریب زدن اعداد به دو روش قطع کردن و گردن کردن )بدون اشاره به نام آنها( 6 مقایسه اعداد. 3

12 عددی الگوهای مختلف مفاهیم در یا میشوند ظاهر مختلف پدیدههای در اینکه علت به عددی الگوهای از بعضی اولین برای فیبوناچی عددهای مثال برای میشوند. معرفی مشخصی نام با میکنند خودنمایی ریاضی شد. مشاهده زیادی پدیدههای در عددی دنباله این آن از پس و شد مطرح شخص این توسط بار مربعی عددهای مثال برای هستند. ترتیب همین به نیز درس این در مطرحشده مربعی و مثلثی عددهای دانشآموزان که دارند فراوانی کاربردهای 1(, 4, 9 16,, )... هستند کامل مربع عددهای شامل که میشوند. آشنا آنها با بهتدریج باالتر سالهای در هستند: معروف فیبوناچی دنباله به زیر عددهای سری 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,.... میآیند. دست به خود قبلی عدد دو جمع از بعدی عددهای ل او عدد دو از غیر جمله نسبت دوم به سوم جمله نسبت اگر که است این عددها رشته این جالب ویژگیهای از یکی میآیند: دست به زیر عددهای کنیم حساب ترتیب به را و چهارم به پنجم جمله نسبت سوم به چهارم 1 و 2 و 1 /5 و 1/66 و 1/6 و 1/625 و 1/619 و 1 /617...و تبسن اگر بهطوریکه میشوند نزدیک ١ طالیی نسبت مقدار به بهتدریج باال عددهای بهاینترتیب میکند. مطابقت طالیی نسبت عدد با اعشار رقم 14 تا کنیم حساب را نهم و سی عدد به چهلم عدد مفاهیم توسعه اما میشود تدریس میلیون و میلیارد طبقه با عددهای نوشتن و خواندن اگرچه فصل این در بتواند دانشآموز بهطوریکه عددهاست. این بزرگی از درست تصور و درک ایجاد آن از مهمتر کند. درک و بیان را میلیون و میلیارد مصادیق یک تومان میلیارد یک ثانیه میلیارد یک میتوان کاغذ میلیارد یک ضخامت مثال مشابه برای را آنها ابعاد ساده محاسبههای با و کرد بیان را و بنزین یا آب قطره میلیارد یک دالر میلیارد کرد. آشکار دانشآموزان قابلتوجهی زیبایی از باشد نزدیکتر عدد این به اجزایش نسبت که میزانی هر به شکلی هر که است عددی طالیینسبت ١ طالیی( )نسبت عدد این مقدار میباشد. خوشایندتر است نشده رعایت آنها در نسبت این که خود نوع هم شکلهای به نسبت و است برخوردار 1/ است: روبهرو بهصورت اعشار رقم ٣٠ تا 4

13 1000 مثال برای دارد. خاصی اهمیت طبقهها و رقمها مکانی ارزشهای بین روابط همچنین میلیارد یک برابر نیز میلیون 100 تا 10 یا و میلیون 10 تا 100 بهاینترتیب است. میلیارد همان میلیون کند. کمک بحث تکمیل به میتواند نیز محور روی آنها نمایش و عددها تقریبی محاسبه میشوند. نیز زمان از غیر مرکب عددهای روی تفریق و جمع محاسبه مرکب عددهای به مربوط قسمت در ه نحو مرکب عددهای تفریق و جمع در که بگیرند یاد دانشآموزان که است این هدف میشود. توصیه 60 و دقیقه یک ثانیه 60 زمان در مثال برای است. متفاوت عدد اجزاء به توجه با عددها دستهبندی موضوعهایی و مثالها میگیریم. نظر در شبانهروز یک را ساعت 24 هر اما میشود ساعت یک دقیقه میشود. توصیه درس این توسعه برای دست این از مهم محورهای میتواند الگو طرح همچنین و خاص الگوهای دادن ادامه نیز آخر درس در مواد در الگوها این کاربرد از فراوانی مثالهای درسی کتاب در ذکرشده نمونههای مشابه باشد. توسعه جالبی ترکیبی شکلهای خاص الگوی یک از تبعیت ضمن که یافت میتوان نانو فناوری و شیمیایی آلی میکنند. خلق نیز را تکنولوژی و ابزار از استفاده سادگی رغم علی ابزارها این است. تولیدشده و ساخته مختلفی بازیهای عددها با کار برای ١ در مهارت کسب به میتوانند دارند مختلف بازیهای انجام در که تنوعی و بودن جذاب به توجه با بازیها این از زیادی نمونههای کنند. زیادی کمک دانشآموزان به عددها خواندن و محاسبهها دارد. وجود نیز خط بر بهصورت مختلف سایتهای یا و فشرده لوح قالب در و رایانهای بهصورت کنید. پیدا را بازیها این از نمونههایی ساده جستجوی یک با میتوانید کنید. مشاهده را مختلفی بازیهای سایت از میتوانید مثال برای بخشی نیز بزرگ عددهای با دقیق یا تقریبی محاسبات انجام برای ماشینحساب از استفاده ٢ کنید. طرح باهوشتر دانشآموزان برای ارتباط این در خاصی مسائل میتوانید همچنین میباشد. کار از چهکار کنیم پیدا ماشینحساب با را 23 بر 747 عدد تقسیم مانده باقی بخواهیم اگر مثال برای خواهید اعشاری عدد یک کنید تقسیم 23 بر را 747 درصورتیکه باشید داشته )توجه داد انجام باید است(. باقیمانده کردن پیدا مسئله این عنوان و دید تقسیم 23 بر را 747 که زمانی که داشت توجه باید نکته این به تقسیم این مانده باقی کردن پیدا برای هست 32 آن صحیح قسمت که آید می دست به اعشاری عدد یک صورت به قسمت خارج و کنیم می 5

14 یعنی اینکه در دسته 23 تایی وجود دارد. قسمت اعشاری یعنی یک کسری از 23 تا در این عدد که کمتر از 23 است وجود دارد. بنابراین برای پیدا کردن باقی مانده تقسیم 747 بر 23 کافیست 32 را در 23 ضرب کنیم و حاصل را از 747 کم کنیم. مقدار به دست آمده باقی مانده تقسیم 747 بر 23 را نشان می دهد = = نمونه سؤالهایی برای ارزشیابی 6 ١ در عدد ارزش مکانی بزرگ ترین رقم چیست رقم صدگان میلیون چند برابر رقم صدگان هزار است اگر به این عدد 50 هزارتا اضافه کنیم کدام رقمها تغییر میکند 3721 عدد بعدازاین عدد را بنویسید. ٢ جاهای خالی را کامل کنید:.. ده هزار برابر است با یک میلیون صد میلیون برابر است با ده میلیارد.. صد هزار برابر است با ده میلیون... هزار برابر است با ده میلیون ٣ از عدد 305 میلیون 50 میلیون 50 میلیون بشمارید و بنویسید. ٤ روی محور عددها محل تقریبی عدد را نشان دهید )محور را رسم کرده و تقسیمبندی مناسب آن را انتخاب کنید(. ٥ 7 بسته صدتایی اسکناس ریالی چند تومان میشود ٦ 7 ساعت و 25 دقیقه بعد از ساعت 10 و 53 دقیقه بعدازظهر دوشنبه چه ساعتی چه موقع و چه روزی است

15 7 الگوهای عددی زیر را ادامه دهید: و و و و / 1:40 و / 1:20 و 1 و و و و 4:20" و 3:40" و / 3 8 الگوهای هندسی را ادامه دهید. )1( )2( )3( )4( )5( )1( )2( )3( )4( 9 تعداد دایرههای هر شکل را بنویسید و مشخص کنید الگوی عددی آنها مربعی یا مثلثی است. الگوها را نیز ادامه دهید. )1( )2( )3( )4( )5( )1( )2( )3( )4( )5( 7

16 معرفی منابع ١ آموزش ریاضیات در دبستان روبین یورگنسن و شلی دال ترجمه دکتر امیرحسین آشنا 1393 بینش نو ویرایش دوم. ٢ کمک به کودکان در یادگیری ریاضیات رابرت.ای.ریس مرلین.ن.سایدام و مری مونتگومری لیندکوئیست ترجمه مسعود نوروزیان 1391 انتشارات مدرسه چاپ ششم. B.E.(2014). Musser,G.L., Burger, W.F., & Peterson, ٣ Mathemutics for Elementary Teachers; a contemporary approach.usa: Courier kendallville. روند ارائه مفهوم عدد و عملیات از پایه او ل ابتدایی تا پایه پنجم روند ارائه مفهوم و نماد عدد : پایه او ل ابتدایی: ارائه مفهوم و نماد اعداد از 1 تا 100 پایه دوم ابتدایی: ارائه مفهوم و نماد اعداد از 101 تا 999 پایه سوم ابتدایی: ارائه مفهوم و نماد اعداد از 1000 تا 9999 پایه چهارم ابتدایی: ارائه مفهوم و نماد اعداد و طبقه میلیون شامل یکان میلیون دهگان میلیون و صدگان میلیون پایه پنجم ابتدایی: ارائه مفهوم و نماد اعداد طبقه میلیارد 8

17 روند ارائه عملیات ریاضی شامل چهار عمل اصل جمع تفریق ضرب و تقسیم طی پنج پایه او ل ابتدایی: پایه او ل ابتدایی: جمع اعداد از 1 تا 100 تفریق اعداد از 1 تا 20 و تفریق مضرب های 10 از 1 تا 100 پایه دوم ابتدایی: جمع و تفریق اعداد از 1 تا 999 به دو روش فرایندی )غیرالگوریتمی( و رویه ای )الگوریتمی( پایه سوم ابتدایی: جمع و تفریق اعداد از 1000 تا 9999 ارائه مفهوم ضرب اعداد با استفاده از جمع های تکرار شونده ارائه مفهوم ضرب اعداد یک رقمی در یک رقمی با استفاده از روش آرایش مستطیلی ارائه خواص ضرب )جابجایی و پخشی ضرب نسبت به جمع( ارائه مفهوم چند برابری ارائه مفهوم تقسیم به عنوان عکس عمل ضرب ارائه تقسیم اعداد دو رقمی براعداد یک رقمی پایه چهارم: جمع و تفریق اعداد در طبقه میلیون ماشین های ورودی خروجی ضرب اعداد دو رقمی در اعداد دو رقمی با استفاده از خاصیت پخشی ( توزیع پذیری( ضرب نسبت به جمع مساحت مستطیل ضرب اعداد چند رقمی در چند رقمی تقسیم اعداد بر اعداد یک رقمی تقسیم اعداد بر اعداد دو رقمی ارائه مفهوم بخش پذیری 9

18 چکلیست ارزشیابی ردیف بسیار خوب خوب قابلقبول نیازمند تالش 1 عددهای تا طبقه میلیارد را میخواند و مینویسد. جمع تفریق ضرب و تقسیم عددها بر اعداد یک رقمی و دو رقمی را با تسلط انجام میدهد. 2 رابطه بین رقمهای مختلف در جدول ارزش مکانی عددها را درک میکند. 3 عددها را بهصورت تقریبی با توجه به رقم موردنظر مینویسد. 4 5 عددها را باهم مقایسه میکند. الگوهای عددی با شمارش چندتاچندتا را ادامه میدهد. 6 حاصل جمع تفریق ضرب و تقسیم اعداد را به طور تقریبی محاسبه می کند. 7 از عددهای تا طبقه میلیارد درک و تصور دارد و مصادیق آنها را بیان میکند. 8 عدد مرکب مربوط به زمان را میشناسد و جمع و تفریق میکند با سایر عددهای مرکب نیز آشنایی دارد. 11 الگوهای عددی مرکب را ادامه میدهد. 12 مسئلههای مربوط به زمان را حل میکند. 13 با الگوی عددهای مثلثی و مربعی آشنایی دارد. الگوهای هندسی مختلف را ادامه داده و رابطه بین عددها و یا شکلها را درک میکند میتواند یک الگوی عددی یا هندسی طرح کند. 10

19 درس او ل یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی اهداف ١ خواندن و نوشتن عددهای تا طبقۀ میلیون ٢ درک روابط بین ارزش رقمهای مختلف در جدول ارزش مکانی ٣ انجام محاسبات عددی )جمع و تفریق ضرب و تقسیم( ٤ نوشتن گسترده عددها پیدا کردن عدد تقریبی و مقایسۀ آنها و درک رابطة بین این سه موضوع ابزارهای موردنیاز: ١ صفحۀ بازی مطابق فعالیت کتاب ٢ کارتهای عدد )رقمهای 0 تا 9 به تعداد زیاد( ٣ پول روش تدریس این درس بهطورکلی به یادآوری مفاهیم و مهارتهای عددنویسی تا طبقه میلیون میپردازد. با توجه به اینکه هیچ موضوع جدیدی مطرح نمیشود کار را بدون هیچ مقدمهای با انجام فعالیت این درس شروع کنید. هدف این فعالیت تشکیل جدول ارزش مکانی و نوشتن و خواندن عدد به کمک آن است. یک صفحه بازی درست کنید و با کمک مهره بازی را شروع کنید. دانشآموز باید یاد بگیرد که 3 مهره در خانه یکان هزار یعنی 3000 و به اینترتیب بتواند گسترده عدد را نیز بنویسد. در فعالیت دوم هدف جمع و تفریق و مقایسه عددها با یک مثال کاربردی است. میتوانید شبیه این فعالیت را با وسایل مختلف در کالس خود بهطور واقعی بازسازی کنید. در قسمت سوم فعالیت نیز دانشآموزان 11

20 12 ترتیب همین به میکند. تغییر رقمها ارزش میشود ضرب 10 در عدد یک وقتی چگونه که میگیرند یاد و فعالیت انجام از پس کنید. مطرح نیز 1000 یا 100 در عددها ضرب برای را موضوع میتوانید سؤال هدف دهند. انجام را کالس در کار بخواهید دانشآموزان از مطرحشده موضوعات جمعبندی است. تقریبی عددهای مقایسه برای محورهایی ساختن و تا چند تا چند شمارش محور به مربوط صفحه فعالیت 3 سؤال در که را درکی آموزان دانش که است این کالس در کار 6 سؤال هدف وجود به هایش رقم روی بر در عددی ضرب هنگام به که تغییری خصوص در 3 دهند. توسعه نیز بر اعداد تقسیم به نسبت را آید می میپردازد. کارتها با بازی یک انجام قالب در عددها ضرب یادآوری به درس این دوم فعالیت ساختن برای کردن استدالل توانایی میشود تقویت آنها ضرب محاسبه اینکه بر عالوه بازی این کمک به اب یا و تفریق و جمع با میتوانید را بازی همین میشود. تمرین نیز ممکن عدد کوچکترین یا ترین بزرگ دهید. انجام نیز بیشتر رقمهای تعداد کالمی بیان جمله از مختلف های روش از آموزان دانش که است این فعالیت 2 سؤال هدف دیگر یکی کنند. استفاده اعداد تفریق و جمع برای هستند مرتبه هم که اعدادی صفرهای حذف و مورد اعداد های ویژگی مبنای بر الگوریتمی غیر محاسباتی های روش از استفاده ها روش این از استفاده جای به توانند می آموزان دانش عدد دو جمع برای مثال عنوان به هست. محاسبه جمع فرایند های روش یا و اعداد( مکانی ارزش جدول مبنای )بر الگوریتمی محاسباتی های روش از را 250 و 400 جمع حاصل سپس کنند. تبدیل 400 به را آن 399 عدد به واحد 1 کردن اضافه با کنند. کم واحد یک )650( حاصل از نهایت در و کنند محاسبه = = =649 و تقریبی عددهای با تقسیم و ضرب تفریق و جمع مقایسه نیز فعالیت این دیگر قسمتهای در میشود. تمرین محاسبه مختلف روشهای بردن کار به با داشته توجه است. شده تکرار مختلف بهصورتهای تمرینها همان نیز کالس در کار قسمت در کالس در بیشتری تمرینهای مهارت کسب برای میتوانید شما و هستند نمونه تمرینها این که باشید کنید. مطرح

21 البته انتظار می رود مسائل ارائه شده در خصوص تقسیم با توجه به عدم آموزش تقسیم اعداد چند رقمی بر چند رقمی در پایه های قبل در سطح ارائه شده در کتاب باشد و بیشتر بر استفاده از روش های کالمی و محاسبه ذهنی تأکید داشته باشند. فعالیت پیشنهادی اهداف: توسعه مهارت خواندن و نوشتن اعداد تا ده رقم زمان: 20 دقیقه وسایل مورد نیاز: 4 برگ کاغذ A4 شرح فعالیت 1 چهار ورق کاغذ A4 را به گونه ای برش دهید که 120 نوار کاغذی به دست آید )هر کاغذ 30 نوار(. 2 دانش آموزان را در گروه های سه نفره قرار دهید و در اختیار هر فرد 3 یا 4 نوار کاغذی قرار دهید )با توجه به تعداد دانش آموزان(. 3 از دانش آموزان بخواهید که به دلخواه خود در روی هر نوار کاغذی یک عدد 9 رقمی نوشته و آن را با سه رقم سه رقم جدا کنند. مثال: 123, 037, سپس اعضای گروه نوارهای کاغذی خود را پشت روی میز قرار داده و به ترتیب هر نفر یک نوار را برداشته و عدد روی آن را می خواند. در صورتی که درست بخواند و دو نفر دیگر اعضای گروه درستی کار او را تأیید کنند یک امتیاز برای خودش ثبت می کند. 5 نفر بعدی همین کار را تکرار می کند و بازی تا آنجا ادامه می یابد که همه نوارهای کاغذی خوانده شوند. 6 اعضای گروه امتیاز های خود را مقایسه می کنند. فردی که بیشترین امتیاز را کسب کرده توسط اعضای دیگر گروه تشویق می شود. 7 سپس کل افرادی که بیشترین امتیاز را آورده اند توسط سایر دانش آموزان تشویق می شود. 13

22 8 در صورت صالحدید معلم بازی به صورت زیر ادامه می یابد دانش آموزان کالس به دو گروه تقسیم می شوند و دو گروه با یکدیگر به صورت زیر مسابقه می دهند. توسط معلم یک عدد 9 رقمی روی تابلو ثبت می شود و به ترتیب هر یک از اعضای گروه عدد مورد نظر را می خوانند ( انتخاب پاسخ دهنده بر عهده معلم می باشد( و در صورت درست بودن یک امیتاز کسب می کنند. گروهی که باالترین امتیاز را بیاورد توسط گروه دیگر تشویق می شود. توصیه: 1 این فعالیت می تواند بجای فعالیت 1 صفحه 2 کتاب درسی در صورت صالحدید معلم اجرا شود. 2 در بند 8 معلم می تواند بجای نوشتن عدد نه رقمی بعضی مواقع عدد را در جدول ارزش مکانی نمایش دهد و یا از دانش آموزان بخواهد پس از خواندن عدد آن را در جدول ارزش مکانی نمایش داده و به صورت کالمی بنویسند. حل بعضی از تمرینها تمرین او ل این قسمت باهدف انجام محاسبههای ساده و یافتن راهبرد مناسب برای حل مسئله شروع شده و پاسخ آنها عبارتاند از: در این سؤال مهم پیدا کردن عددی است که در خانه وسط قرار میگیرد. 14

23 آموزشی توصیههای است. درس این اصلی هدفهای از میلیون صد تا عددهای مختلف مصادیق به پرداختن ١ یکمیلیون میشود تا تا 100 مثال برای کنید. توجه بیشتر رقمها بین رابطههای به ٢ یکمیلیون. میشود هزارتا 100 تا 10 یا و ریز سؤالهای مشابه تمرینهای میشود. توصیه بسیار درس این در نیز ذهنی محاسبههای ٣ دهید. انجام زیاد دانشآموزان با را = 300 هزار 100 = هزار ده نصف = هزار 100 برابر دو = میلیون 10 نصف = برابر = بهراحتی میشود باعث کار این میشود. توصیه نیز مسئلهها حل برای ماشینحساب با کار ٤ نباشید. محاسبه انجام نگران و کنید طرح واقعی مسئلههای و سؤالها دانشآموزان رایج بدفهمیهای عددهایی خواندن و نوشتن در دانشآموزان اشکاالت مهمترین از یکی ١ و نویسی گسترده با مقایسه در اشکال این است. صفر رقمهایشان از بعضی که است میشود. مشاهده نیز تقسیم و ضرب تفریق جمع محاسبه حتی خود مقایسه با دیگر رقم ارزش با آن مقایسه و رقم یک ارزش بین تفاوت ٢ میشود. محسوب بدفهمیها موارد دیگر از آنها ارزش گرفتن نظر در بدون رقمها 15

24 دوم درس میلیارد معرفی اهداف میلیارد طبقۀ تا عددهای نوشتن و خواندن ١ مکانی ارزش جدول به توجه با مختلف رقمهای بین رابطۀ درک ٢ مصادیق بیان و میلیاردی عددهای از درست تصور و درک ٣ رابطۀ درک و محور روی نمایش و تقریبی عددهای مقایسه نویسی گسترده ٤ آنها بین عددی محاسبات انجام و ماشینحساب با کار ٥ : موردنیاز ابزارهای هزارتایی( و صدتایی دهتایی )یکی کوئیزنر مکعبهای ١ پول ٢ موردنیاز تعداد به 9( تا )0 رقم کارت ٣ تدریس روش اضافه مکانی ارزش جدول به میلیارد طبقه که تفاوت این با است قبلی درس امتداد در درس این به مربوط وسایل درصورتیکه است. میلیون و هزار آموزش مشابه درس این آموزش سبک میشود. دانشآموزان از صورت این غیر در کنید شروع را آنها با کار دارید اختیار در را کوئیزنر مکعبهای همچنین است. مختلف طرق به میلیارد معرفی فعالیت این هدف دهند. انجام را کتاب فعالیت بخواهید 1000 عدد یافتن برای اتفاقی هر میکند. کمک مکانی ارزش جدول در رقمها بین رابطه بهتر درک به میلیون یک تا 1000 برای اتفاق همین میافتد. یکمیلیون یا تایی 1000 تا 1000 برای است افتاده و میکنند پیدا آنها بین رابطه از خوبی تصور دانشآموزان ترتیب بدین افتاد. خواهد نیز میلیارد یعنی 16

25 ارزش مکانی 10 تا 10 تا و همچنین طبقههای یکی میلیون و میلیارد را بهتر درک میکنند. در سؤال سوم نیز با الگوهای عددی مختلف عدد یک میلیارد به طرق گوناگون ساخته میشود تا دانشآموزان برای نمایش آن عدد در جدول ارزش مکانی در سؤال چهارم آماده شوند. در کار در کالس تالش شده است تا دانشآموزان با مصادیق مختلف میلیارد ازجمله جمعیت و پول آشنا شوند. در فعالیت دوم این درس نمایش تقریبی عددها روی محور به درک بهتر عددهای تقریبی و شمردن چند تا چند تا در حدود عددهای طبقه میلیارد کمک میکند. به عنوان نمونه حل یکی از محورهای ارائه شده در این فعالیت به صورت زیر است. البته اعداد نقاط مشخص شده و نقاط مربوط به اعداد تقریبی است و پاسخ دانش آموزان اگر نشان دهنده درک صحیح آنان از مقدار تقریبی اعداد و محل تقریبی اعداد روی محور باشد صحیح هست. 1,250,000, ,000,000 میلیون میلیون 1,250,000,000 درواقع دانشآموزان با گسترده نویسی و مقایسه عددها نیز دست ورزی خواهند کرد. در کار در کالس دوم این درس یک نوآوری در نمایش جمع و تفریق عددها صورت پذیرفته است تا دانشآموزان بدون نیاز به نوشتن صفرها عددها را راحتتر جمع و تفریق کنند. در انجام تفریق نیز باید از اینکه یک میلیارد همان 1000 میلیون است استفاده کنند. فعالیت پیشنهادی اهداف: درک مفهوم میلیارد درک رابطه بین هر مکان با مکان بعدی در جدول ارزش مکانی زمان: 25 دقیقه وسایل مورد نیاز: کاغذ A4 به تعداد 1 کل دانشآموزان برگه ضمیمه شماره 1 به تعداد 4 دانشآموزان 17

26 شرح فعالیت 1 دانشآموزان را در گروههای سه نفره قرار دهید. در اختیار هر فرد 1 کاغذ A4 قرار 4 دهید. سپس روی تابلوی کالس مطالب زیر را نوشته و از دانشآموزان بخواهید که آنها نیز مانند شما این مطالب را روی برگه خود ثبت کنند. میلیارد ده هزار 1,000,000 میلیون 10,000 صد هزار 100,000,000 صد میلیون 1,000,000,000 هزار 100,000 ده میلیون 10,000,000 سپس هر عدد را به نام مربوط به آن عدد وصل کنند. مثال هزار اعضای هر گروه نوشته های خود را با یکدیگر مقایسه می کنند و اشکاالت را برطرف می کنند. 3 از اعضای گروه ها سؤال می شود کدام عدد برایتان جدید بود. 4 از اعضای گروه ها سؤال می شود تشابه و تفاوت ارقام این عدد با ارقام عدد میلیون چیست )تعداد صفرها با تعداد یک هر عدد مقایسه می شود( 5 از اعضای گروه ها خواسته می شود که با مشورت با یکدیگر این عدد را در جدول ارزش مکانی که معلم روی تابلوی کالس ثبت کرده است قرار دهند. 6 با کمک دانش آموزان عدد میلیارد معرفی می شود. 7 در اختیار هر دانش آموز برگ ضمیمه شماره 1 را که قبال تکثیر کرده اید قرار دهید و از آنها بخواهید تا جاهای خالی را پر کنند. 8 از اعضای گروه ها خواسته می شود برگه های خود را با دیگر اعضای گروه مقایسه و اشتباهات را اصالح کنند. 9 یکی از گروه ها کار خود را به کالس ارائه می کند و سایر گروه ها اظهارنظر می کنند. توصیه: 1 این فعالیت می تواند )در صورت صالحدید معلم( بجای فعالیت 1 صفحه 6 کتاب درسی اجرا شود.

27 2 برای تعمیق بیشتر مفهوم می توانید از دانش آموزان بخواهید که تعداد ثانیه هایی که از عمر آنها می گذرد را با ماشین حساب محاسبه کرده و بیان کنند. سپس بگویند اگر ده سال به عمر آنها اضافه شود چند ثانیه عمر کرده اند ( بدون استفاده از ماشین حساب(. در جاهای خالی عدد مناسب بنویسید ,000 20, , , ,000,000 2,000, ,000,000 20,000, ,000, ,000,000 با استفاده از محورهای باال به سؤاالت زیر پاسخ دهید. ب( 10 تا 100 تایی میشود... آ( 10 تا 10 تایی میشود... ت( 10 تا 10,000 تایی میشود... پ( 10 تا 1000 تایی میشود... ج( 10 تا 1000,000 میشود... ث( 10 تا 100,000 تایی میشود ح( 10 تا 100,000,000 میشود. چ( 10 تا 10,000,000 میشود. 19

28 تمرینها از بعضی حل هک گرفتهاند یاد سوم کالس در دانشآموزان است. اول سؤال همان قسمت این تمرین مهمترین یکمیلیون برای نیز چهارم سال در داشت. خواهد سانتیمتر 10 معادل ضخامتی تقریبی بهطور کاغذ 1000 توجه میکنند. محاسبه را کاغذ میلیارد یک ضخامت سؤال این در حاال دادهاند. انجام را محاسبه کاغذ بنابراین: داشت خواهد ضخامت سانتیمتر یک تقریبی بهطور کاغذ 100 هر که باشید داشته کاغذها ضخامت = سانتیمتر = متر = 100 کیلومتر 100 معادل ضخامتی تقریبی بهطور بگذاریم رویهم را کاغذ میلیارد یک اگر بهعبارتدیگر داشت! خواهد کیلومتر تقریب نظر مورد تقریب با را کشورها جمعیت ابتدا توانند می آموزان دانش 4 سؤال حل در هم با ابتدا را کشورها جمعیت اینکه یا آورند دست به حاصل عنوان به را آنها جمع حاصل سپس بزنند آنچه و هست صحیح روش دو هر بزنند. تقریب نظر مورد تقریب با را جمع حاصل سپس و کنند جمع تقریب با را اعداد بتوانند و باشند داشته تقریب از درستی درک آموزان دانش که است این است مهم مقدار از بعد های رقم حذف با توانند می هم آموزان دانش نیز اعداد تقریب در بزنند. تقریب نظر مورد مانند: آورند دست به را تقریبی مقدار آن جای به گذاشتن صفر و تقریب میلیون یک تقریب با 78,420,000 78,000,000 هزار 100 تقریب با 78,420,000 78,٤00,000 از باالتر یا 5 )اگر تقریب از بعد رقم برمبنای و تقریب مقدار از بعد رقم به توجه با توانند می هم و های رقم بود 5 از کمتر اگر و شود می صفر ها رقم بقیه و شود می اضافه تقریب مقدار به واحد یک بود 5 آورند مانند: دست به شده خواسته تقریب با را تقریبی مقدار شود( می صفر تقریب از بعد میلیون یک تقریب با 17,610,000 ١8,000,000 تقریب از بعد رقم تقریب رقم هزار 100 تقریب با 17,610,000 17,600,000 تقریب از بعد رقم تقریب رقم 20

29 توصیههای آموزشی مهمترین توصیه در این قسمت به آموزگاران محترم کالس پنجم این است که برای تدریس بهتر این قسمت باید درسهای هزار و میلیون را از کتابهای سوم و چهارم دبستان با دقت مطالعه کنید تا با نحوه تدریس آنها در سالهای قبل آشنا شده و بدانید که دانشآموزان با چه اندوختهای به کالس پنجم دبستان واردشدهاند. توصیههای درس قبل نیز در این درس مورد تأکید است. بدفهمیهای رایج دانشآموزان داشتن تخمین و درک مناسب عددهای در حدود یک میلیارد برای دانشآموزان مشابه بزرگ ترها کار دشواری است و الزم است در این خصوص تمرینهای مختلف و متنوعی انجام دهید. 21

30 سوم درس مرکب عددهای تفریق و جمع اهداف زمان مرکب عددهای با آشنایی ١ زمان به مربوط مرکب عددی الگوهای دادن ادامه ٢ )زمان( مرکب عددهای تفریق و جمع ٣ زمان به مربوط مسئلههای حل ٤ مرکب عددهای سایر با آشنایی ٥ تفاوت عددها دستهبندی مبنای مرکب عددهای سایر در که موضوع این درک ٦ میکند. : موردنیاز ابزارهای عقربهای ساعت ١ دیجیتالی ساعت ٢ گرمی 1000 و وزنههای و ترازو ٣ کش خط و پارچهای متر ٤ تدریس روش 22 کردن آشنا ضمن اول قسمت در است. )زمان( مرکب عددهای معرفی درس این اصلی هدف داده آموزش نیز آنها تفریق و جمع ثانیه و دقیقه ساعت به مربوط مرکب عددهای با دانشآموزان هب میتوان نیز دیگر صورتهای به را مرکب عددهای اینکه به دانشآموزان توجه دوم بخش در میشود. ه رابط مرکب عددهای نوع این در شوند متوجه دانشآموزان که است این هدف شود. می جلب برد کار

31 بین عددها / 60 تا / 60 تائیست و متناسب با موضوع این عددها تفاوت میکنند. بدون هیچ مقدمهای فعالیت اول کتاب را انجام دهید. در سؤال اول ضمن یادآوری نمایش زمان به صورتهای مختلف عدد مرکب معرفی میشود. در سؤالهای 2 و 3 این فعالیت درواقع با کمک الگویابی جمع عددهای مرکب آموزش داده میشوند. وقتی عدد بعد از / 1:40 بهصورت 2 و عدد بعدی بهصورت / 2:20 نوشته میشود. در حقیقت دانشآموزان یاد گرفتهاند که باید هر 60 دقیقه را به یک ساعت تبدیل کنند. در پاسخ به سؤال ٣ الزم است دانش آموزان چگونگی به دست آوردن حاصل را به صورت کالمی بنویسند. برای تکمیل موضوع سؤال 4 به صورتهای مختلف جمع دو عدد مرکب را نمایش داده است تا موضوع جمعبندی و نهایی شود. در سؤال 5 نیز نمونهای از تفریق مطرح شده است. کار در کالس این قسمت نیز به جمع و تفریق و انجام مسئلههای مربوط به زمان اختصاص یافته است. در بخش دوم کار با یک فعالیت و کار در کالس دیگر انجامشده است. در این دو قسمت نمونههای دیگری از عددهای مرکب با واحدهای جرم طول و زمان مطرح شده است تا دانشآموزان عالوه بر آشنایی با آنها به نحوه دستهبندی )ساختن دسته کناری( توجه کنند. حل بعضی از تمرینها در قسمت آخر سؤال 1 تمرین خواسته شده است که با توجه به جدول باال دانش آموزان مسئله ای را طرح کنند و سپس آن را حل کنند. با توجه به نقش و اهمیت طرح مسئله در یادگیری مفاهیم مختلف ریاضی از همکاران محترم انتظار می رود بر حل این قسمت از سؤال و ارائه مسائل مشابه در کالس درس تأکید ویژه ای داشته باشند. در سؤال 6 قسمت تمرین روشی برای تخمین زدن تعداد دانههای برنج مطرحشده است. بهطورکلی برای چنین محاسبههایی دو روش وزنی و حجمی وجود دارد. درروش اول وزن )برای مثال 10 گرم( تعدادی برنج گرفته شود و با شمردن تعداد آنها مقدار یک کیلوگرم و یا هر وزن موردنظر دیگر پیدا میشود. درروش حجمی از پیمانه کردن استفاده میشود. برای مثال با 10 تا قاشق غذاخوری یک لیوان و با 10 تا لیوان یک کیلوگرم برنج به دست میآید )عددها ذهنی و تقریبی هستند(. در این صورت با شمردن تعداد برنجهای یک قاشق میتوان تعداد برنجهای یک کیلوگرم را پیدا کرد. 23

32 توصیههای آموزشی ١ برای یادآوری خواندن و نمایش زمانهای مختلف میتوانید از انواع ساعتها استفاده کنید. ٢ در حل مسئلههای مربوط به زمان نیز در صورت لزوم از ساعتهای عقربهای کمک بگیرید تا درک بهتری ایجاد شود. بدفهمیهای رایج دانشآموزان عمده بدفهمی دانشآموزان در جمع و تفریق عددهای مرکب است که نمونههای آن در کار در کالس و تمرینها ارائه شده است. بحث در مورد آنها به دانشآموزان کمک میکند تا خودشان آن اشتباهات را تکرار نکنند. 24

33 درس چهارم الگوها اهداف ١ درک تمایز و تفاوت موجود بین محیط و مساحت شکل با کمک الگوهای هندسی ٢ درک رابطۀ بین شکلها و عددها در الگوها برای پیدا کردن شکلها یا عددهای بعدی ٣ آشنایی با الگوی عددهای مثلثی و مربعی ٤ ادامه دادن یک الگو و یا طرح یک الگوی عددی یا هندسی ابزارهای موردنیاز: ١ صفحۀ شطرنجی مربعی یک سانتیمتری ٢ چوبکبریت برای ساختن الگوها ٣ صفحههای شطرنجی مربعی مثلثی و ششضلعی منتظم روش تدریس هدف اصلی این درس الگویابی است اما در ضمن آن بعضی از مفاهیم نیز مرور میشوند. در فعالیت بخش اول دانشآموزان یاد میگیرند که چگونه شکلهایی که یک محیط دارند میتوانند مساحتهای مختلف داشته باشند. درک این موضوع در قالب یک الگوی هندسی شکلگرفته است تا دانشآموزان بین محیط شکلهای مختلف با مساحتهای گوناگون رابطه برقرار کنند و بتوانند برای شکلهای بعدی بدون رسم آنها پاسخ موردنظر را پیدا کنند. همین هدف در سؤالهای کار در کالس این قسمت نیز دیده میشود. 25

34 در است. مطرحشده نیز نداشتن تناسب و بودن متناسب مفهوم درواقع الگوها این ضمن در هب نمیافتد اتفاق این دوم سؤال در اما است متناسب شکلها شماره با چوبکبریتها تعداد اول سؤال است شده مطرح الگویابی قالب در که سؤالها این نوشت. نمیتوان را جدول کنار ضرب دلیل همین میکند. مطرح تناسب آموزش برای مناسبی زمینه این اینکه به توجه با میشوند. معرفی مربعی و مثلثی عددهای الگوی درس این دوم بخش در نام دانستن دارد کاربرد دانشآموزان ریاضی آینده در کامل مربع عددهای بهخصوص عددی الگوهای به الگوها همان هم کالس در کار در شود. پرداخته آن به حد بیشاز نباید اما نیست لطف از خالی آنها میشود. دنبال دیگری شکل در الگو این در که باشد می موضوع این نام این به مثلثی عددهای الگوی نامگذاری علت حاصل شکل بنابراین شود. می اضافه قبل مرحله های شکل به ای مرحله هر تعداد به ای مرحله هر حاصل مثلثی شکلی و شود می اضافه هرم های قاعده به ای مرحله هر در که است هرمی صورت به به نیز مربعی عددهای الگوهای گویند. می مثلثی عددهای الگوی ها الگو این به دلیل همین به شود. می )مجذور کامل مربع اعداد باشند مربعی های ضلع توانند می ای مرحله هر در ها شکل تعداد اینکه دلیل اند. شده نامگذاری مربعی عددهای الگوی هستند کامل( تمرینها از بعضی حل باید میکنند رسم را بعدی شکلهای دانشآموزان آنکه بر عالوه درس این ابتدای تمرین سه در رسم بدون را دهم( مثال )برای موردنظر شکل بتوانند آن کمک به تا کنند کشف را شکلها بین رابطه ه رابط از مربعها تعداد اول سؤال در مثال برای کنند بیان را آن کوچک مربعهای تعداد و کنند شمارش میآید: دست به زیر شکل( )شماره 2+1 زیر صورت به ها مرحله شماره براساس مرحله هر های مربع تعداد کردن پیدا فرمول 2 سؤال در هست: شکل( شماره 4+)2 یا شکل( شماره 2 )2+ رابطه از استفاده با مرحله شماره براساس شکل هر های مربع تعداد نیز 3 سؤال در آید. می دست به شکل( شماره شکل 1 +)شماره 26

35 توصیههای آموزشی ١ در طرح سؤالهای مربوط به الگویابی سطح دانشآموزان در نظر گفته شود و متناسب با آن سؤال و تمرین داده شود. ٢ طرح کردن الگو نیز از اهداف مهم این درس است که میتواند مورد سؤال واقع شود. ٣ به نامهای الگوی عددهای مثلثی و مربعی بیشازحد تأکید نکنید. هدف الگویابی است نه نامگذاری و سؤالهای پیچیدهای که هدف و کاربرد خاصی را دنبال نمیکند. بدفهمیهای رایج دانشآموزان مهمترین بدفهمی این است که دانشآموزان بین دو جمله متوالی یک الگو رابطهای کشف میکنند و بدون آنکه آن را برای جملههای دیگر الگو آزمایش کنند به کار میبرند. درحالیکه ممکن است آن رابطه برای جملههای بعدی صدق نکند. برای رفع این مشکل همیشه رابطه بیانشده در تمام جملههای الگو را امتحان کنید و این کار را به دانشآموزان آموزش دهید. هدف از ارائه مرور فصل در پایان هر فصلی جمع بندی و فراهم آوردن فرصتی برای تثبیت و تعمیق مطالب ارائه شده در فصل هست. مرور فصل ها از چهار بخش اصلی فرهنگ نوشتن تمرین معما و سرگرمی و فرهنگ خواندن تشکیل شده است. هدف از فرهنگ نوشتن فراهم آوردن فرصتی برای بیان مفاهیم آموخته شده در فصل به صورت کالمی و به زبان خود دانش آموز و توسط وی هست. در بخش تمرین سعی شده است نمونه هایی از تمرینات ارائه شده در درس های قبل آورده شود. معما و سرگرمی فرصتی را برای دانش آموزان فراهم می کند تا با استفاده از مفاهیم ارائه شده در درس به حل معماهایی که عالوه بردارا بودن محتوای ریاضی جنبه سرگرمی و بازی را نیز دارند بپردازند. این امر موجب آن می شود که ضمن عمق بخشی به یادگیری دانش آموزان از لذت کار با ریاضی بهره مند شوند. در فرهنگ نوشتن هدف ارتقاء سطح توانایی خواندن و درک متون مرتبط با مفاهیم ریاضی هست. 27

36 2 کسر نگاهی کلی به فصل این فصل شامل ٥ درس است. درس اول به معرفی کسرهای بزرگتر از واحد میپردازد. همچنین روش تبدیل یک عدد مخلوط به کسر و نیز روش تبدیل یک کسر بزرگتر از واحد به عدد مخلوط آموزش داده میشود. درس دوم به جمع و تفریق عددهای مخلوط اختصاص دارد که در قالب فعالیت و به کمک بازنماییها و روشهای مختلف آموزش انجام میگیرد. در درس سوم ضرب کسرها در سه وضعیت ضرب یک عدد طبیعی در یک کسر ضرب یک کسر در یک عدد طبیعی و ضرب دو کسر در یکدیگر آموزش داده میشود. در درس چهارم دانشآموزان تقسیم کسرها را فرا میگیرند. الزم به ذکر است که بخشی از آموزش تقسیم دو کسر در پایه ششم ادامه خواهد یافت. در آخرین درس فصل ٢ به ضرب عددهای مخلوط پرداخته میشود همچنین در مورد ساده کردن کسرها نیز روشهایی مطرح میشود. 28

37 شبکه مفهومی تقسیم کسرها ضرب کسرها کسر کسرهای بزرگ تر از واحد بازنمایی ها ساده کردن یک کسر جمع و تفریق کسرها عدد مخلوط آشنایی با زیرساختارهای کسر تصویر عنوانی تصویر عنوانی به موضوع ضرب دو کسر اختصاص دارد. تصویر از دنیای پیرامون و مربوط به زندگی واقعی است و اشاره به سهم زنبورها در گرده افشانی حشرات دارد. هدف این تصویر عالوه بر ایجاد ارتباط بین ریاضیات و خلقت نشان دادن اهمیت و مفید بودن آموختن این پدیده هاست. همان گونه که در متن تصویر ذکر شده است از زنبور عسل درس های مفید زیادی را می توان فرا گرفت. در صورت فرصت و انگیزه می توان از دانش آموزان خواست در مورد این درس ها تحقیق کنند. دانستنیهایی برای معلم 1 زیر ساختارهای کسر برخی از محققان عقیده دارند که کسرها ساختار چند الیهای دارند و درک مفهوم کسر به درک پنج زیر ساختار جزء به کل نسبت عملگر خارج قسمت و اندازه و الحاق 2 آنها به یکدیگر وابسته 1 مطالب این بخش از منبع زیر اقتباس شده است: دوستی ملیحه. )1392(. بررسی درک و فهم دانش آموزان پایه ششم ابتدایی از کسرها. پایان نامه کارشناسی ارشد دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی دانشکده علوم پایه تهران. confluence ٢ 29

38 است. شرح مختصری از این زیر ساختارها در ادامه ارائه شده است. زیر ساختار جزء به کل با افراز ١ یک کمیت گسسته یا پیوسته به قسمتهای هماندازه و در نظر گرفتن قسمتهایی از آن کسر به عنوان جزئی از کل حاصل میشود که به فرم a نوشته میشود. b در زیر ساختار جزء به کل کسر 2 به عنوان 2 تکه پیتزا 3 از یک پیتزا که به سه قسمت مساوی تقسیم شده است یا به عنوان 2 عدد کیک کشمشی از 3 عدد کیک کشمشی در نظر گرفته میشود )شکل 1(. شکل ١ نمایش کسر 2 در زیر ساختار جزء بهکل 3 اگر چه مطالعات نشان داده اند که دانش آموزان با درکی غیر رسمی از رابطه جزء به کل به کالس درس می آیند زیر ساختار جزء به کل نباید به تنهایی برای بیان مفهوم کسر تدریس شود. دانش آموزانی که تنها با زیر ساختار جزء به کل در کسرها آشنا می شوند به اندازه کافی نمی توانند دیگر مفاهیم کسر را توسعه دهند. زیر ساختار نسبت در زیر ساختار نسبت کسر مقایسه بین دو کمیت را بیان می کند و به عنوان یک شاخص مقایسه ای در نظر گرفته می شود. بنابراین کسر در این زیر ساختار عدد نیست. برای مثال نسبت تعداد مثلث ها به تعداد لوزی ها یا نسبت تعداد پرتقال ها به تعداد سیب ها در یک ظرف میوه )شکل 2(. شکل 2 نمایش نسبت 2 به 3 کسر 2 در زیر ساختار نسبت افراز )Partitioning( در واقع در نظر گرفتن یک کمیت مشخص و تقسیم آن به چند قسمت مساوی است.

39 3 2 نولتینگ ١ نسبت ها را به عنوان روابط بینابینی ٢ و درونی ٣ کسرها توصیف می کند. در رابطه بینابینی کسرها بررسی رابطه بین حداقل دو نسبت به الگوریتم»مخرج مشترک«منجر می شود. با ضرب یک عدد غیر صفر در دو کمیت صورت و مخرج در یک نسبت دو نسبت هم ارز حاصل می شود. برای مثال سه پیتزا برای ن ه نفر و شش پیتزا برای هجده نفر نسبت های هم ارز هستند چون سه ضربدر دو مساوی شش و ن ه ضربدر دو مساوی هجده می شود. در رابطه درونی کسرها همبستگی دو کمیت مجزا که نسبت واحدی را در بر دارند بررسی می شود. با بررسی نسبت های بین این دو کمیت دیده می شود که هر دو نسبتی که رابطه ضربی یکسانی دارند هم ارز هستند. برای مثال سه پیتزا برای ن ه نفر و شش پیتزا برای هجده نفر نسبت های هم ارز هستند چون سه برابر سه مساوی ن ه و شش برابر سه مساوی هجده است. رابطه درونی برای تعیین مقدار نسبی یا اندازه نسبت به کار می رود. دو رابطه در شکل زیر )شکل 3( نشان داده شده اند ۸ شکل 3 رابطه بینابینی و درونی : رابطه بینابینی = : رابطه درونی = = زیر ساختار عملگر المون عملگر را به عنوان یک تبدیل تعریف میکند که پارهخطها را کوتاه یا بلند میکند تعداد را در یک مجموعه از اشیا کاهش یا افزایش میدهد یا شکلها را در صفحه هندسی و نقشه بزرگنمایی میکند. مفهوم عملگر میتواند در بردارنده تفکری جبری باشد همانند تابعی که شکلهای هندسی یا مجموعهای از اشیا را تغییر میدهد. به عنوان مثال 2 میتواند به عنوان دو سوم از کمیتی درک 3 شود. 2 از 12 تا مثلث 8 مثلث میشود )شکل 4(. 3 شکل 4 نمایش در زیر ساختار عملگر Within Relationships ٣ Between Relationships ٢ Noelting ١

40 32 زیرساختار عملگر به مفاهیم تناسب ترکیب همانی ١ و وارون ٢ منجر می شود. در ضرب نیز به خواص گروه ٣ منجر می گردد.در وضعیت»گروهی از«٤ اولین کسر روی کسر دوم عمل می کند. برای مثال 3 1 میتواند به عنوان سه چهارم از نیمی از یک گروه در نظر گرفته شود نتیجه این 4 2 حاصل ضرب 3 است.این نتیجه با تبدیل 1 به چهار قسمت مساوی و در نظر گرفتن سه قسمت از 2 8 این قسمتها حاصل میشود. مطرح کردن زیر ساختار عملگر در برنامهدرسی نه تنها»خواص جبری خاصی را برجسته می کند به ویژه به معکوس در ضرب ٥ و عضو خنثی ٦ مرتبط می شود همچنین ورزیدگی در درک مفهوم توابع مرکب را مهیا می کند«. زیر ساختار خارج قسمت در زیر ساختار خارج قسمت هر کسر به عنوان نتیجه یا خارج قسمت یک تقسیم در نظر گرفته میشود. به طور خاص کسر x بر ارزش عددی به دست آمده از تقسیم x بر y داللت میکند به y طوری که x و y هر دو اعداد صحیح هستند و 0 y. مثال کسر 2 میتواند به عنوان خارج قسمت یا نتیجه تقسیم دو پیتزا میان سه نفر به طوری که به هر نفر 1 از هر پیتزا یا 2 از کل پیتزاها 3 3 میرسد تفسیر شود. زیرساختار خارج قسمت کسرها به ایجاد مقادیر هم ارز منجر میشود. به این معنا زمانی که 9 و 1 به عنوان وضعیت تقسیم محسوب شوند به ترتیب نتایج مقادیری هم ارز با 3 و 0/ هستند. همچنین معرفی کسرها به عنوان خارج قسمت به درک مفهوم عدد مخلوط یا کسرهای بزرگتر از»یک«منجر میشود. برای مثال هنگام افراز یا تقسیم پنج پیتزا میان سه نفر به هر نفر یک پیتزای 2 کامل و دو سوم از پیتزای دیگر یا 1 پیتزا میرسد. به جای دادن یک پیتزای کامل به اولین نفر هر 3 پیتزا می تواند به سه قسمت تقسیم شود. در این وضعیت جواب 5 میشود و هر نفر پنج سوم پیتزا یا 3 5 تکه را که هر تکه یک سوم از هر پیتزا است دریافت میکند. زیرساختار اندازه در زیر ساختار اندازه کسر به عنوان یک عدد معرفی میشود که ویژگی کم ی بودن کسرها را of situation groups ٤ group properties ٣ inverse ٢ identity ١ identity elements ٦ multiplicative inverse ٥

41 بیان میکند و به یک فاصله اندازهای را اختصاص میدهد. بدین منظور کسری با صورت واحد ) تعریف میشود و با تکرار این کسر از یک مبدأ معین فاصله مورد نظر تعیین میشود.برای 1 )مانند a مثال 2 با فاصله 2 تا 1 واحد از مبدأ متناظر است )شکل 5 ( زیرساختار اندازه روی محور اعداد 2 شکل 5 نمایش 3 ١ افراز نقش بسزایی در درک زیر ساختار اندازه دارد.کسر به عنوان اندازه فرایند تکرار را یکپارچه میسازد طوری که یک واحد به یک مجموعه مرکب از اندازههای مساوی مجزا افراز میشود. مفهوم افراز به شکلگیری مفاهیم جبری عملیات و همارزی کسرها منجر میشود. برای 1 1 مثال در وضعیت جمع مانند + فرایند جمع این کسرها به عنوان اندازه به مختصات دو بردار 2 4 به طول 1 و 1 نیاز دارد. این عمل به این صورت انجام میپذیرد که بردارها به دنبال هم قرار میگیرند 4 2 و مکان حاصل جمع جایی روی محور اعداد افراز شده است که بردار دوم پایان مییابد. عالوه بر مفهوم واحد مفاهیم همارزی و مرتب کردن نیز در این زیرساختار مطرح میشوند. هنگام افراز واحد به سه قسمت و متعاقبا به شش قسمت دیده میشود که یک ششم نصف یک سوم است. پس دو ششم با یک سوم همارز است. این فرایند دست کم میتواند نشان دهد که زمان مرتب کردن اعداد از کم به زیاد یک ششم قبل از یک سوم میآید. توسعۀ مفاهیم یکی از اهداف مهم آموزش کسر توسعه درک دانش آموزان از عدد می باشد. معموال دانش آموزان در سال های ابتدایی و متوسطه کسر را به عنوان یک عدد نمی پذیرند. درک کسر به عنوان یک عدد کمک مناسبی به دانش آموزان در درک اعداد گویا خواهد کرد. درک مفهوم کسر همچنین مقدمه ای برای درک مفاهیم دیگری مانند احتمال است. پژوهش ها نشان می دهند که بسیاری از مشکالت دانش آموزان در درک مفهوم احتمال به عدم درک درست آنها از کسر بازمی گردد. 33 iteration process ١

42 درک مناسب از مفهوم کسر با توجه به چند الیه بودن این مفهوم اهمیت زیرساختارهای پنج گانه کسر را بیش از پیش نمایان می سازد. توسعه درک مفهوم کسر به آموزش مناسب و متوازن این زیرساختارها مرتبط است. استفاده از ابزار و تکنولوژی ١ در مورد کسر برنامهها و فعالیتهای رایانهای زیادی در دسترس است. بسیاری از این نرمافزارها با یک جستوجوی ساده در اینترنت قابل دریافت هستند بهطور مثال در سایت مجموعهای از فایلهایآموزشی فعالیتها دستورزیها و تمرینها قابل دانلود هستند. برخی از این مباحث شامل همارزی کسرها اعداد مخلوط ضرب و تقسیم کسرها ارتباط کسرها و اعداد اعشاری درصد و مسائل تکمیلی میباشد. ٢ استفاده از ابزارهای فیزیکی مانند کاغذ مقوا و سایر ابزارهای ساخته شده برای آموزش کسرها کمک زیادی به درک بهتر دانشآموزان از مفهوم کسر میکند. با استفاده از این وسایل و انواع بازیهای مطرح شده در کتاب دانشآموزان میتوانند مسائلی در مورد جمع و تفریق کسرها ضرب تقسیم و ساده کردن کسرها و نیز زیرساختارهای مختلف کسر مطرح نمایند. ٣ سایت واحد تحقیق توسعه و آموزش ریاضی نمونه سؤال هایی برای ارزشیابی ١ هریک از عددهای مخلوط را به کسر تبدیل کنید ٢ هریک از کسرهای زیر را به عدد مخلوط تبدیل کنید. ٣ عددهای زیر را از کوچک به بزرگ و از چپ به راست مرتب کنید و و و و 35 9 و و 3 و ٢ و 7 و 1 و

43 ٤ حاصل جمع و تفریق های زیر را به دست آورید = = = 7+ 1 = ٥ حاصل ضرب های زیر را به دست آورید = = = 18 ٦ حاصل تقسیم های زیر را به دست آورید = 2 = 5 4 ٧ کسرهای زیر را ساده کنید = = ٨ کسرهای 1 2 و 4 3 و 2 3 و 1 4 را روی محور اعداد مشخص کنید. ٩ سارا 3 از یک کتاب ١٨٠ صفحهای را خوانده است. با استفاده از این اطالعات یک 5 مسئله بنویسید و آن را حل کنید. ١٠ نصف دانشآموزان یک کالس ١٢ نفرند. 1 دانشآموزان این کالس چند نفرند 3 ١١ 1 یک کیک پس از مهمانی باقی ماند. حامد روز بعد 1 مقدار باقیمانده را خورد. 3 5 اکنون چه کسری از کل کیک باقی مانده است ١٢ فاطمه 1 پولش و هانیه 1 پول خودش را خرج کرد 3 2 دو عدد برای پول فاطمه و پول هانیه مثال بزنید که مقدار باقیمانده پول هر دو نفر مساوی شود. ١٣ ٤ کارگر هرکدام 3 از دیوارها را نقاشی کردند. روی هم چه کسری از دیوارها نقاشی 5 شده است 35

44 ١٤ شکل زیر 3 4 تعدادی دایره را نشان می دهد. کل دایره ها را رسم کنید. معرفی منابع ١ دوستی ملیحه. )١٣٩٢(. بررسی درک و فهم دانش آموزان پایه ششم ابتدایی ازکسرها. پایان نامه کارشناسی ارشد دانشگاه تربیت دبیرشهید رجایی دانشکده علوم پایه تهران. ٢ ریحانی ابراهیم بخشعلی زاده شهرناز و دوستی ملیحه )١٣٩٣(. بررسی درک دانش آموزان سال ششم ابتدایی از کسرها. فصلنامه علمی پژوهشی مطالعات برنامه درسی ١٦٤ ١٣٣. ٣٤ ٣ قربانی سی سخت زینب )١٣٨٨(. بررسی اثر آموزش مبتنی بر بازنمایی های چندگانه روی درک دانش آموزان پایه چهارم ابتدایی از کسرها. پایان نامه کارشناسی ارشد دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی دانشکده علوم پایه تهران. mathemaatics.mahwah, Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary ٤ New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. 36

45 چکلیست ارزشیابی )از اهداف هم کمک گرفته شود( ردیف بسیار خوب خوب قابل قبول نیازمند تالش ١ کسر بزرگ تر از واحد را می شناسد. عدد مخلوط را به کسر بزرگ تر از واحد تبدیل می کند. ٢ کسر بزرگ تر از واحد را به عدد مخلوط تبدیل می کند. ٣ دو کسر با مخرج های نامساوی را می تواند جمع و تفریق کند. 4 5 دو عدد مخلوط را می تواند با هم جمع یا تفریق کند. ضرب یک عدد طبیعی در کسر را درک می کند و می تواند آن را محاسبه کند. 6 ضرب یک کسر در یک عدد را درک می کند و می تواند آن را محاسبه کند. 7 دو عدد کسری )با مخرج غیر یک( را می تواند درهم ضرب کند. 8 تقسیم دو عدد طبیعی بر یکدیگر را می تواند با کسر نمایش دهد. 9 تقسیم یک عدد کسری بر یک عدد طبیعی را انجام می دهد. 10 تقسیم یک عدد طبیعی بر یک عدد کسری را انجام می دهد دو عدد مخلوط را در یکدیگر ضرب می کند. 13 کسرها را می تواند ساده کند. ١٤ می تواند کسرها را با یکدیگر مقایسه کند. 37

46 درس او ل کسر بزرگ تر از واحد اهداف ١ کسر بزرگتر از واحد را درک و عدد مخلوط را به کسر بزرگتر از واحد تبدیل میکند. ٢ کسر بزرگتر از واحد را به عدد مخلوط تبدیل میکند. ٣ کسر بزرگتر از واحد را به شیوههای مختلف نمایش میدهد. ابزارهای مورد نیاز : ١ محور اعداد ٢ کاغذ یا مقوا برای نمایش کسرها روش تدریس فعالیت با مرور مفهوم عدد مخلوط آغاز می شود و با استفاده از محور اعداد نمایش کسری یک عدد مخلوط آموزش داده می شود. همچنین با استفاده از بازنمایی های دیگر کسر و توجه به واحد )در کسر( معادل بودن یک عدد مخلوط و کسر نظیر آن آموزش داده می شود. سپس نحوه تبدیل یک عدد مخلوط به کسر )بزرگ تر از واحد( مفهوم بخشی می شود و در نهایت روشی برای تبدیل یک عدد مخلوط به کسر بزرگ تر از واحد نتیجه می شود. در کار در کالس این فعالیت نیز ارتباط بین عدد مخلوط و کسر بزرگ تر از واحد در قالب تصاویر و بازنمایی های مختلف مورد پرسش واقع می شود. دومین فعالیت درس اول به آموزش تبدیل یک کسر بزرگ تر از واحد به عدد مخلوط می پردازد که الزم است این فعالیت به صورت تعاملی و با درگیر شدن دانش آموزان در انجام آن صورت گیرد نکته مهم این 38

47 است که این فعالیت به دنبال ایجاد یک درک مفهومی از کسر بزرگ تر از واحد و عدد مخلوط نظیر آن و سپس ارائه یک رویه برای تبدیل و کسر بزرگ تر از واحد به یک عدد مخلوط است. در کار در کالس فعالیت دوم درس یک نیز این هدف دنبال می شود. حل یا راهنمای بعضی از تفریق ها یکی از تفریق های چالش برانگیز درس اول تفریق ٩ است. البته راهنمایی این تفریق حل آن را کمی ساده تر می کند ولی مسئله مهم این است که دانش آموزان روش های مختلف درستی را برای انجام این تفریق ارائه می کنند. مثال عده ای ابتدا اعداد کوچک تر از ١ را جدا می کنند و یا مثال عده ای دیگر به دنبال ساختن مخرج های برابر هستند. مقایسه و بررسی راه حل های درست و توضیح نادرستی راه حل های غلط در گفتمان کالسی بسیار مفید و آموزنده خواهد بود. توصیه های آموزشی توصیه می شود که از دادن تمرین های زیاد پرهیز شود و در عوض تمرین های موجود در کتاب با دقت بیشتری مورد بحث و بررسی قرار گیرد. بدفهمی های رایج دانش آموزان یک بدفهمی رایج در مورد مقایسه کسرها این است که صورت و مخرج یک کسر مالک مقایسه آن کسر با کسر دیگر است. این بر آن علت است که طرحواره اعداد طبیعی در ذهن دانشآموزان وجود دارد و مثال از نظر دانشآموز 3 از 1 بزرگتر 2 10 است چون ٣ از ١ و ١٠ از ٢ بزرگ تر است! همچنین ممکن است در تبدیل عدد مخلوط 1 حاصل را به صورت 7 4 بنویسند. ٧( = ٤ + ١ )٣

48 درس دوم جمع و تفریق عددهای مخلوط اهداف ١ عددهای مخلوط را با یکدیگر جمع یا تفریق میکند. ٢ تفریق دو عدد مخلوط را در حالی که قسمت کسری عدد مخلوط دوم بیشتر از قسمت کسری عدد اول است انجام میدهد. ابزارهای مورد نیاز : ١ محور اعداد ٢ کاغذ یا مقوا برای بازنمایی کسرها روش تدریس در اولین فعالیت این درس جمع ٢ عدد کسری با مخرج های نامساوی آموزش داده شده است. بهتر است از دانش آموزان خواسته شود که نحوه هم مخرج کردن کسرها را به کمک شکل ها توضیح دهند. با مقایسه و مشاهده راه حل ها دانش آموزان باید به ایده ای برای هم مخرج کردن کسرهایی که به مخرج های آنها مضربی از یکدیگر نیستند برسند. در کار در کالس بیشتر بر اجرای رویه فرا گرفته شده تأکید می شود. فعالیت دوم این درس به جمع و تفریق اعداد مخلوط اختصاص دارد و الزم است روش های داده شده مورد بررسی و بحث قرار گیرند. استفاده از شکل جمع قسمت های صحیح و نیز تبدیل کردن به کسر ٣ روش ارائه شده در فعالیت موردنظر است. همچنین برای تفریق دو عدد مخلوط در قسمت دوم این فعالیت محور اعداد نیز مطرح شده است. در کار در کالس با ارائه مثال هایی از 40

49 دانش آموزان خواسته می شود که جمع و تفریق های مشابهی را خود انجام دهند. سومین فعالیت به تفریق دو عدد مخلوط که قسمت کسری عدد دوم بزرگ تر از قسمت کسری عدد اول است. ابتدا سعی شده است که موضوع به صورت یک چالش طرح شود و سپس به کمک محور اعداد و شکل و نیز تبدیل به کسر راه حل هایی ارائه شود. حل و راهنمایی برخی تمرین ها در تمرین ٣ از دانش آموزان خواسته شده است که برای جمع داده شده مسئله ای را طرح کند. مناسب است که چند نمونه از مسائل مطرح شده توسط دانش آموزان در کالس مورد بررسی قرار گیرد. بررسی موارد نادرست هم می تواند به رفع بسیاری از بدفهمی ها کمک نماید. از طرف دیگر ارائه مثال هایی از زندگی واقعی دانش آموزان ارتباط بهتری را با دنیای اطراف خود پیدا خواهند کرد. توصیه های آموزشی باید به رشد متوازن و هماهنگ دانش مفهومی و رویه ای دانش آموزان توجه کرد. با آنکه توانایی محاسبه کردن ضروری است اما نباید بر آن متوقف ماند و تفکر و توضیح دادن در مورد مسائل ضروری است. گاهی اوقات دانش آموزان راه حل هایی را ارائه می کنند که در کتاب ذکر شده است. بررسی و تصحیح و تکمیل این راه حل ها بسیار آموزنده خواهد بود. بدفهمیهای رایج دانشآموزان یک نمونه بسیار رایج از اعداد مخلوط از بدفهمیهای دانشآموزان در تمرین ٥ ارائه شده است. نمونهای دیگر از بدفهمیها در هنگام جمع دو کسر یا تفریق آنها جمع و تفریق صورتها و مخرجهای دو کسر است. 41

50 درس سوم ضرب کسرها اهداف ١ ضرب یک عدد طبیعی در یک کسر را مفهوم بخشی میکند و حاصل آن را بهدست میآورد. ٢ ضرب یک کسر در یک عدد طبیعی را مفهوم بخشی میکند و حاصل آن را بهدست میآورد. ٣ ضرب دو کسر در یکدیگر را انجام میدهد. ابزارهای مورد نیاز : ١ محور اعداد 2 کاغذ یا مقوا برای نقاشی هندسی کسرها ٣ تعدادی مکعب مستطیل 4 تعدادی سیب روش تدریس در اولین فعالیت ضرب یک عدد طبیعی در یک کسر آموزش داده میشود. دستورزی با سیبهای واقعی نقاشی روی محور اعداد و یا جمع ٨ نصفه سیب و یا ضرب ٨ در 1 با هم مرتبط و 2 تکمیلکننده فعالیتاند. کار در کالس نیز به تثبیت ایده مطرح شده میپردازد. در دومین فعالیت ضرب یک عدد کسری در یک عدد مطرح میشود. توجه کنید که ممکن است دانشآموزان ابتدا ٢ دایره از سه دایره را رنگ کنند و سپس 2 یک دایره باقی مانده را رنگ کنند. 3 در کار در کالس قاعده ضرب یک کسر در یک عدد طبیعی بهصورت کلی مطرح میشود و 42

51 در بخش آخر مناسب است از مکعب های دست ساز برای توجیه موضوع استفاده شود. در سومین فعالیت ضرب دو کسر در یکدیگر آموزش داده می شود که بهتر است به تصویر عنوانی نیز اشاره شود. در کار در کالس به کمک بازنمایی های مختلف مفهوم ضرب ٢ کسر بیشتر روشن می شود. خاصیت جابه جایی ضرب نیز در کار در کالس آمده است و در بخش های بعد مورد نیاز است. راهنمایی و حل برخی تمرین ها در تمرین ٦ بهتر است که از دانش آموزان بخواهید مثال های مختلفی بزنند و در هر حالت صفحات داده شده را مقایسه کنند. مثال یک کتاب ١٠٠ صفحه ای با کتاب ٢٠٠ صفحه ای و یا یک کتاب ٤٠٠ صفحه ای با یک کتاب ٣٠٠ صفحه ای مقایسه نشود. در تمرین ٨ اعداد می توانند پاسخ باشند و یا 6 توصیه های آموزشی پس از حل تمرین ها از دانش آموزان بخواهید که خودشان برای افراد دیگر کالس مسئله ای در مورد ضرب کسرها طرح کنند. توانایی طرح مسئله مستلزم بسیاری از توانایی های دیگر است و به کمک آن می توان به بسیاری از مشکالت دانش آموزان پی برد. بدفهمی های رایج دانش آموزان گاهی اوقات دانشآموزان در ضرب دو کسر فقط صورتها را در یکدیگر ضرب میکنند و مخرجها را با یکدیگر جمع میکنند. مثال مینویسند = در تمرین ٥ نمونهای دیگر از این بدفهمیها ذکر شده است که باید با بحث کالسی این بدفهمیها تشریح و برطرف شود. 43

52 درس چهارم تقسیم کسرها اهداف ١ تقسیم دو عدد طبیعی بر یکدیگر را مفهوم بخشی میکند و آن را به شکل کسر نمایش میدهد. ٢ تقسیم یک کسر بر یک عدد طبیعی را مفهوم بخشی میکند و آن را انجام میدهد. ٣ تقسیم یک عدد طبیعی بر یک کسر را مفهوم بخشی میکند و آن را انجام میدهد. ابزارهای مورد نیاز: ١ محور اعداد ٢ کاغذ یا مقوا ٣ نان یا کلوچه یا اشیا مطرح شده در درس روش تدریس اولین فعالیت به زیر ساختار خارج قسمت کسرها مربوط است. دانش آموزان باید هریک از مراحل را توضیح دهند و حل را کامل کنند. توجه شود که ممکن است دانش آموزان ابتدا ٣ کلوچه )دایره( را به سه نفر تقسیم کنند که به هر کدام ١ کلوچه کامل می رسد و بعد ٢ کلوچه باقی مانده را بین 2 3 کلوچه )با توجه به شکل( می رسد. ٣ نفر تقسیم کنند که به هر نفر در مورد ٧ متر پارچه هم می توان ابتدا ٤ متر را بین ٤ نفر تقسیم کرد و سپس ٣ متر باقی مانده را بین ٤ نفر تقسیم کرد. آنچه که مهم است در نهایت دانش آموزان باید تقسیم a به b را به صورت کسر a b را درک کنند و نمایش دهند. در دومین فعالیت تقسیم یک کسر بر یک عدد طبیعی آموزش 44

53 داده می شود و پس از درک مفهومی این موضوع رویه محاسبه فرا گرفته می شود. نکته مهم توجه به جابه جایی ضرب دو کسر است. الزم نیست به مفهوم معکوس اشاره ای شود. این قاعده در سال ششم ذکر خواهد شد. سومین فعالیت به تقسیم یک عدد طبیعی بر یک کسر اشاره دارد و بهتر است با یک شئ واقعی دست ورزی انجام گیرد. الزم به ذکر است که تقسیم دو کسر بر یکدیگر در سال ششم آموزش داده می شود. 3 7 به حل و راهنمایی برخی تمرینها در تمرین ٨ به روشهای گوناگونی میتوان مقایسه را انجام داد. مثال کمک هم مخرج کردن کسرها مقایسه کنیم. روش دیگر رسم شکل است. کسر را با توصیههای آموزشی در مورد تقسیم کسرها باید توجه دانشآموزان را به این نکته معطوف کرد که برخالف ضرب 1 و 1 3 را به روشهای مختلف خاصیت جابهجایی برقرار نمیباشد مثال میتوان حاصل محاسبه و با یکدیگر مقایسه کرد. بدفهمیهای رایج دانشآموزان برخی دانشآموزان برای تقسیم یک کسر بر یک عدد طبیعی مخرج را بر 1 را مساوی 1 مینویسند و یا اینکه عدد طبیعی تقسیم میکنند مثال حاصل خاصیت جابهجایی را به تقسیم کسرها هم تعمیم میدهند. 45

54 درس پنجم ضرب عددهای مخلوط اهداف ١ ضرب دو عدد مخلوط را انجام میدهد. ٢ ضرب دو کسر را با ساده کردن بهدست میآورد. ابزار مورد نیاز : کاغذ یا مقوا برای نمایش شکلهای موردنظر روش تدریس در اولین فعالیت به کمک شکل های داده شده )یا با استفاده از شکل های مقوایی( دانش آموزان مربع های کوچک تر می سازند و مساحت شکل را پیدا می کنند. مساحت تقریبی هم مهم است. دانش آموزان باید بدانند که مساحت از ٦ مترمربع بیشتر و مثال از ١٢ مترمربع کمتر است. ١ مقایسه راه حل ها آموزنده است. راه های جدید دانش آموزان هم باید بررسی شود. هدف دومین فعالیت این است که نشان دهد چگونه در ضرب ٢ کسر یک عدد از صورت یک کسر با عددی از مخرج کسر دوم با یکدیگر ساده می شوند. شکل ها کمک زیادی به درک موضوع می کنند. در فعالیت دوم این درس روش های مختلف ساده کردن یک کسر مطرح شده است بهتر است ابتدا به دانش آموزان فرصت داده شود روش خود را ارائه دهند و سپس با مقایسه روش های داده شده بر روی راه مناسب توافق شود. 46

55 راهنمایی و حل برخی تمرین ها در تمرین ٣ روش های گوناگونی برای مقایسه وجود دارد ولی بهتر است مثال 7 8 و 1 2 اینگونه مقایسه شوند که کسر 7 اگر صورت کسر به ٤ تغییر یابد کسری مساوی 1 بهدست میآید. بقیه کسرها 2 8 نیز این چنین میتوانند با 1 مقایسه شوند. رسم شکل استفاده از محور و یا هم مخرج کردن کسرها 2 نیز روش دیگری برای حل این تمرین هستند. تمرینها بخش فرهنگ نوشتن بهتر است ابتدا بهصورت شفاهی و طی یک گفتوگوی کالسی مورد بحث قرارگیرد و بعد به کمک عبارات ریاضی مکتوب گردد. تمرین ٣ مرور فصل از نوع تمرینات پاسخ باز است که میتواند جوابهای زیادی داشته باشد و بهتر است این فرصت داده شود تا پاسخهای مختلف ارائه شود. توصیه های آموزشی توصیه می شود که از ذکر رویه ها و فرمول ها و قاعده های مطرح شده در برخی از کتاب های کمک آموزشی پرهیز شود و به روش های دانش آموزان بها داده شود و بدون مفهوم بخشی به ذکر فرمول ها پرداخته نشود بدفهمی های رایج دانش آموزان در هنگام ضرب دو عدد مخلوط به طور مثال می نویسند که ناشی از درک نادرست عدد مخلوط است. 3 1 را به شکل

56 3 نسبت تناسب و درصد نگاه کلی به فصل این فصل شامل 4 درس است : درس 1: نسبت. در این درس پس از ارائه یک پیش سازماندهندۀ کلی در قالب تصویر و متن مفهوم نسبت بین دو مقدار )کمیت( با استفاده از پیش سازماندهندۀ تطبیقی )مقایسهای( کسر ارائه گردیده سپس فعالیتهایی برای آموزش و کار در کالسهایی برای تثبیت تعمیق و تعمیم نسبت ارائه گردیده است. درس 2 : نسبتهای مساوی. در این درس مفهوم نسبتهای مساوی و نسبتهایی که مساوی نیستند ارائه گردیده سپس تعیین یک یا چند نسبت با ویژگیهای خاص که مساوی یک نسبت داده شده باشند با روشهای مختلف )هندسی عددی جبری کالمی( مورد بررسی قرار گرفته و همچنین به کاربردهایی از نسبتهای مساوی در درون ریاضی و برون ریاضی پرداخته شده است. درس : 3 تناسب. در این درس پس از ارائۀ یک پیش سازمانده برای ایجاد انگیزه کمیتهای متناسب و سپس تناسب معرفی گردیده است. همچنین به کمیتهای متناسب و کمیتهایی که متناسب نیستند در کنار همو در قالب فعالیتها و کار در کالسهایی پرداخته شده است. در این درس تعیین جزء چهارم تناسب به کمک نسبتهای مساوی نیز آمده است. ویژگیهای مهم تناسب در سال ششم ابتدایی خواهد آمد. درس 4: درصد. در این درس پس از ارائه یک پیش سازمان دهندۀ کلی با ارائه فعالیتهایی درصد معرفی گردیده سپس با ارائه کار در کالسهایی به تثبیت تعمیق و کاربردهای درصد پرداخته شده است. در پایان مرور فصل شامل: فرهنگ نوشتن تمرینها معما و سرگرمی و فرهنگ خواندن آمده است. در تمام دروس و همچنین در مرور فصل از عددهای اعشاری و همچنین از عددهای مخلوط استفاده نشده است زیرا دانشآموزان تقسیم کردن این عددها را تاکنون نیاموختهاند.

57 شبکه مفهومی عددهای درست کسر نسبت های مساوی نسبت درصد تناسب تقسیم چگونگی تنظیم محتوای موضوعی و فرایندی فصل 3 برای صفحه عنوان فصل و همچنین شروع درس ها پیش سازمان دهنده ای به منظور ایجاد انگیزه برای یادگیری دانش آموزان ارائه گردیده است. در تمام درس های این فصل فعالیت ها به منظور آموزش مفهوم مورد نظر )نسبت نسبت های مساوی تناسب و درصد( طراحی گردیده اند و کاردرکالس ها برای تثبیت تعمیق و تعمیم مفاهیم می باشند. کاربردهای هر مفهوم در درون ریاضی و ریاضی و علوم دیگر نیز عموما در کار در کالس هایی ارائه گردیده اند. در پایان هر درس تمرین هایی داده شده اند. تمرین ها برای تثبیت و تکمیل یادگیری )پرکردن حفره ها و خألهای احتمالی موجود در آموزش مفهوم( است. تمرین ها به منظور تکرار همان محتوای مطرح شده در متن درس نیست بلکه تکرار مفهوم در قالب ها و بافت های جدید است. تمرین ها برای رسیدن به مهارت در انجام دادن و به کارگیری مفاهیم و قاعده های دروس یادگرفته شده است زیرا ممکن است این مهارت ها در کاردرکالس ها کامل نشده باشد. 49

58 تصویر عنوانی در متن این صفحه مسجد نصیرالملک شیراز و در باالی صفحه تصویر گنبد سلطانیه زنجان و در پایین صفحه یک متن درباره اثرهای تاریخی همگی به عنوان پیش سازمان دهنده کلی ارائه گردیده اند تا در دانش آموزان برای یادگیری مفاهیم مطرح شده در این فصل ایجاد انگیزه کنند. در این تصاویر مفاهیم ریاضی زیادی وجود دارد که همگی اهمیت و نقش دانش ریاضی و از جمله مفاهیم نسبت تناسب و درصد را در ساختن اثرهای باستانی نشان می دهد. 50 دانستنیهایی برای معلم تاریخچه نسبت تناسب و درصد در تاریخ ریاضیات به درستی مشخص نیست که نسبت بین دو مقدار )کمیت( به وسیله کدام تمدن باستانی پایهگذاری شده است. این فکر که عد ه افراد قبیلهای دو برابر عد ه افراد قبیله دیگر است و این فکر که طول یک تسمه چرمی نصف طول تسمه چرمی دیگر است هر دو مفهوم نسبت را در بردارند و میتوانستهاند در آغاز تاریخ هر قومی پدید آیند با توجه به این نکته که اولی نسبت بین دو عدد و دومی نسبت بین اندازههای دو پاره خط را بیان میکند. البته با توجه به شواهد موجود هنگامی که به ریاضیدانهای یونان باستان میرسیم میبینیم که تالس Thales )ح ق م( در حدود 6 قرن پیش از میالد مسیح )ع( قضیههایی را که به نام قضیههای تالس مشهور است با استفاده از نسبت پارهخطها و تناسب بیان نموده و اثبات کرده است. اتودوکسوس در هندسهاش نیکو ماخوس در حساب و تاون )تیون( در موسیقی از نسبت استفاده کردهاند. اودموس رودسی )حدود 325 پ م( را هم مؤلف اثری در مورد تناسب دانستهاند که این اثر به صورت کتاب پنجم اصول اقلیدس در آمد. از زمان یونانیان تا قرن هفدهم میالدی نویسندگان در زمینه حساب نظری مجموعهای از اصطالحها را در ارتباط با نسبت به کار بردند که از نظر ریاضیدانان امروزی بیش از حد پیچیده بودند. چندتایی از اصطالحها هنوز باقی است مانند نسبت عددی بین دو مقدار )کمیت( که تفاضل این دو است به عنوان مثال نسبت عددی 7 و 3 مساوی 4=7-3 است.نسبت تساوی a:a مانند 3:3 نسبت کوچکتری a:b )وقتی a < b است مانند نسبت 3:4( نسبت بزرگتری a:b )وقتی a > b است مانند نسبت ٤:٣(. در حال حاضر نسبت عددی بین دو عدد در کتابهای درسی مطرح نیست و نسبتهای تساوی کوچکتری و بزرگتری نیز همگی به عنوان نسبت بین دو مقدار )کمیت( مطرح میباشند.

59 تناسب: نویسندگان قدیم از تناسب عددی یعنی b - a = d - c به صورت 5 و 4 و 3 و )3-2=5-4( و از تناسب هندسی یعنی a:b=c:d به صورت 10 و 5 و 4 و ( 2 = ) نام برده مانند = 1 a c = 1 b = و و ازآنهااستفادهکردهاند.یونانیانتناسبهماهنگ یعنی = 5 a c c d = 1 2 d و چند نوع تناسب دیگر را نیز به آن افزودند. ریاضیدان های عهد رنسانس )نوزایی( به حذف اکثر اصطالح های باال پرداختند و اینک تنها تناسب هندسی باقی مانده است بنابراین وقتی از تناسب گفتگو می شود مراد تناسب هندسی است. ریاضیدانان مسلمان تناسب را به صورت یا 15 نشان داده اند در حال حاضر در اکثر کتابهای درسی مقایسه دو مقدار )کمیت( به وسیله عمل تقسیم را نسبت بین آن دو مقدار مینامند. به بیان دیگر نسبت دو مقدار نشان میدهد که یک مقدار چند برابر مقدار دیگر است. a b نسبت بین دو کمیت a و b( )0 b است که به یکی از صورتهای زیر نشان داده میشود: الف( به وسیله ):( a:b مانند 3:4 ب( به وسیله )به( a به b مانند 3 به b یک کسر a مانند پ( به وسیله ت( به وسیله یک عدد اعشاری مانند 0/75 ث( به وسیله یک درصد مانند 75 در کتاب درسی حاضر برای نمایش نسبت از کسر استفاده شده است و نسبت عددهای اعشاری و عددهای مخلوط همچنین درصد مرتبط با این عددها مطرح نگردیده است.معلمان محترم نیز به این نکته توجه داشته باشند. در محاسبه نسبت بین دو مقدار )کمیت( ممکن است: 1 واحدهای آن دو مقدار از یک نوع باشند 2 واحدهای آن دو مقدار متفاوت باشند )از یک نوع نباشند( در فعالیتها و کار در کالسهای این کتاب با هر دو مورد باال مواجه خواهید شد. در ریاضی مورد 1 را نسبت بین دو مقدار) Ratio ( و مورد 2 را نرخ یا آهنگ بین دو مقدار )Rate( مینامند. 51

60 در صورتی که در مورد 2 مخرج کسر 1 باشد عدد حاصل واحد نرخ یا آهنگ نامیده میشود. اما معلمان محترم باید توجه داشته باشند که در کتاب درسی حاضر ما هیچ نامی از نرخ یا آهنگ نبردهایم و شما نیز نباید نامی از آن را در این مقطع به میان آورید. نام نرخ یا آهنگ در سال ششم ابتدایی خواهد آمد. ارتباط نسبت با کسر: مفهوم نسبت با مفهوم کسر ارتباط دارد. به عنوان مثال مفاهیم جزء بهکل و خارج قسمت هر دو هم با کسر و هم با نسبت ارتباط دارند این خود دلیل آن است که نسبت و کسر با هم مرتبط هستند یا ارتباط مفهومی دارند. با این حال تفسیر اندازه از کسر ارتباط روشن و مستقیمی با مفهوم نسبت ندارد. برای مثال کسر میتواند به عنوان یک اندازه ]یا متر/ به بزرگی فاصله 3 از مبدأ روی محور اعداد[ در نظر گرفته شود در حالی که نسبت 3 به 4 به طور مستقیم 4 چنین مفهومی را در برندارد یا نسبت سه گانه 1 به 2 به 3 ]یا نسبت 1 و 2 و 3 و یا 1:2:3[ به طور مستقیم و آشکار در کسر دیده نمیشود. ما از ارتباط مفهوم کسر با نسبت برای آموزش مفهوم نسبت استفاده میکنیم. نرخ: نسبت دو مقدار )کمیت( با واحدهای متفاوت نرخ )Rate( نامیده میشود مانند: 54 صفحه کتاب 300 کیلوگرم 2800 کیلومتر 6000 تومان. اگر مخرج این نسبت ها ١ باشد 3 ساعت 20 سانتیمترمربع 4 ساعت 5 کیلوگرم 6000 تومان 1000 تومان آن را واحد نرخ می نامند.به عنوان مثال واحد نرخ )کیلویی 1000 تومان( ٥ کیلوگرم 1 کیلوگرم 2800 کیلومتر 700 کیلومتر ساعت کیلومتر 700 و یا است و یا واحد نرخ است که آن را به صورت 4 ساعت 1 ساعت 700Km/h نیز نشان می دهند. به مثال های دیگری از نرخ و واحد نرخ توجه فرمایید. برای خرید برنج به یک برنج فروشی می روید و سؤال می کنید. نرخ برنج چند است برنج فروش پاسخ می دهد»تنی 5,000,000 تومان«با توجه به اینکه هر تن 1000 کیلوگرم است. ٠00,5,000 تومان نرخ اعالم شده برنج است. شما می خواهید نرخ 1 کیلوگرم برنج را بدانید برای این 1000 کیلوگرم 52

61 کار صورت و مخرج 5,000,000 تومان را بر 1000 تقسیم میکنید به دست میآید: 5000 تومان 1000 کیلوگرم 1 کیلوگرم یا 1 کیلوگرم 5000 تومان که واحد نرخ است. به مثال دیگری توجه کنید. برای خرید جوراب به بازار رفتهاید. از جوراب فروش میپرسید: نرخ جوراب چند است پاسخ میدهد دوجینی 4800 تومان. با توجه به اینکه یک دو جین جوراب ١٢ جفت جوراب است 4800 تومان او نرخ فروش جوراب را اعالم کرده است اگر قیمت 1 جفت جوراب رابخواهید 12 جفت جوراب صورت و مخرج نرخ باال را بر 12 تقسیم می کنید. خواهید داشت نرخ است تومان 1 جفت جوراب که این واحد در زندگی روزمره ما اغلب با واحد نرخ سر و کار داریم. به عنوان مثال وقتی میوه فروش می گوید سیب کیلویی )1 کیلو( 5000 تومان است. او واحد نرخ را بیان کرده است همچنین وقتی گفته می شود قیمت هر سکه بهار آزادی تومان است در واقع واحد نرخ سکه بهار آزادی اعالم شده است در بسیاری از موارد مانند خرید و فروش محصوالت کشاورزی صنعتی مسافت های پیموده شده و زمان صرف شده فشار بر سطح و با نرخ و یا واحد نرخ سرو کار داریم. نسبت طالیی: یونانیان قدیم برخی شکل ها را خوشایندتر از شکل های دیگر می دانستند و در ساختن بناها و مجسمه ها و نقاشی ها این شکل ها را به کار برده اند. مشهورترین این شکل ها مستطیل طالیی است که اضالعش به نسبت طالیی می باشند. )مستطیلی که خوشایندترین مستطیل بین مستطیل های با محیط ثابت است(. معماران یونان باستان در 500 سال پیش از میالد حضرت مسیح )ع( از مستطیل طالیی و نسبت طالیی اطالع داشتند و در ساختن معبد پارتنون Parthenon در آتن که بنای آن در سال 443 پ م آغاز شده بود و برساختن مجموعه بنا و بخصوص مجسمه های آن فید یاس Phidias مجسمه ساز مشهور یونان باستان نظارت داشت از نسبت طالیی و مستطیل طالیی استفاده کرده اند. نسبت طالیی و مستطیل طالیی در کارهای فید یاس نیز دیده می شود. 53

62 همچنین لئوناردو داوینچی عدد طالیی را در نقاشی و مجسمهسازی به کار برده است. هنرمندان ایرانی نیز از نسبت طالیی در ساختن اثرهای باستانی و همچنین هنرهای سنتی از جمله خط نستعلیق و خط شکسته نستعلیق استفاده کردهاند. تعریف نسبت طالیی: اگر نقطهای مانند C روی پاره خط AB چنان اختیار شود که AC 2 =AB.BC یا AC AB A C B = BC AC یعنی قطعه بزرگ تر واسطه هندسی بین قطعه کوچک تر و تمام پاره خط باشد در این صورت گفته می شود که نقطه C پاره خط AB را به نسبت ذات وسط و طرفین یا به نسبت طالیی تقسیم کرده است. اگر طول پاره خط BC برابر 1 باشد طول پاره خط AC برابر با نسبت طالیی است. فرض می کنیم ϕ مقدار عددی نسبت طالیی را نمایش دهد در این صورت با فرض BC=1 از تناسب قبل داریم: ϕ ϕ ± 5 = ϕ =ϕ+ 1 ϕ ϕ 1= 0 ϕ= 1 ϕ 2 + ϕ= 1 5 مقدار عددی نسبت طالیی است که آن را عدد طالیی مقدار مثبت ϕ یعنی 2 Number( )Golden نیز مینامند. البته این عدد گنگ است و یکی از مقدارهای اعشاری تقریبی آن 1/618 میباشد. اقلیدس در کتاب پنجم خود به این نسبت اشاره کرده است. روش رسم مستطیل طالیی: اگر پاره خط AB به وسیله نقطه C به نسبت طالیی تقسیم شده باشد یعنی AC 2 = AB.BC باشد مستطیل ABDE که درازای آن پارهخط AB و پهنای آن مساوی پاره خط AC است مستطیل طالیی است. E F D A C B 54 نکاتی بیشتر در مورد نسبت طالیی: تقسیم طالیی با همه پیچیدگی که در بیان عددی آن وجود دارد تناسبی است که اغلب در طبیعت و در ساخته های دست بشر به آن برخورد می کنیم. بدن

63 آدمی چه در کل بدن و چه در بعضی از قسمت های جداگانه آن اغلب از قانون تقسیم طالیی پیروی کرده است. اگر تن آدمی را به همین نسبت تقسیم کنیم به نحوی که قسمت کوچک تر پایین و قسمت بزرگ تر باال قرار گیرد خط تقسیم از انتهای انگشت های دست ها در صورتی که دست ها آویزان باشند می گذرد. تقسیم سر به قسمت های اختصاصی هم یک رشته نسبت به دست می دهد که خیلی به نسبت طالیی نزدیکند همین وضع در مورد دست و کف دست هم وجود دارد. اگر از عالم انسان به عالم گیاه برویم در آنجا هم کاربرد شگفت آور نسبت طالیی را پیدا می کنیم. وضع قرار گرفتن برگ ها را روی یک ساقه بررسی می کنیم. می بینیم که بین هر دو زوج برگ برگ سومی درجای تقسیم طالیی قرار گرفته است. اگر وضع قرار گرفتن برگ ها را روی شاخه ها و شاخه های جداگانه را روی ساقه مطالعه کنیم باز هم به نتیجه های جالب تری می رسیم. به سادگی می توان متوجه شد که همه برگ ها یکی روی دیگری قرار نگرفته است برگ های مجاور اغلب روی یک خط راست نیستند بلکه شاخه را دور می زنند. اگر نخی از پایه یک برگ به پایه برگ دوم و از آنجا به پایه برگ سوم و غیره به نوبت ببندیم دیده می شود که نخ دور شاخه می پیچد و یک مارپیچ واقعی درست می کند. روش تدریس گروهی کار در گروه های کوچک برای انجام فعالیت ها و کار در کالس هایی که در کتاب درسی آمده است الزم است که دانش آموزان هر کالس به گروه های کوچک تقسیم شوند در صورتی که کالسی برای آموزش گروهی در مدرسه وجود دارد دانش آموزان را به دسته های 5 4 یا 6 نفره تقسیم کنید به طوری که در هر گروه دانش آموزان قوی ضعیف و متوسط با هم باشند. اگر شناختی از دانش آموزان ندارید می توانید با انجام یک پیش آزمون در ارتباط با مفهومی که می خواهید آموزش دهید به این آگاهی دست یابید. 55

64 56 اگر در مدرسه کالس کار گروهی وجود ندارد می توانید دانش آموزانی را که روی یک نیمکت نشسته اند )2 یا 3 نفر( یک گروه در نظر بگیرید. در این صورت نیز سعی کنید دانش آموزان قوی و متوسط و ضعیف در یک گروه باشند. گروه ها را هر ماه تغییر دهید تا همه با هم کار کردن همفکری تعاون و... را بیاموزند. در شروع انجام فعالیت اهداف آموزش را بگویید و همواره آن را در نظر داشته باشید. برای شروع یک درس جدید پیشنهاد ما آن است که ابتدا پیش سازمان دهنده را شما خودتان ارائه دهید تا انگیزه الزم برای یادگیری مفهوم در دانش آموزان ایجاد شود. در صورتی که اشتیاق زیادی در دانش آموزان برای بحث و گفتگو درباره پیش سازمان دهنده ارائه شده دیدید می توانید با مشارکت دانش آموزان پیش سازمان دهنده را ارائه کنید. اگر خودتان پیش سازمان دهنده ای مناسب تر از پیش سازمان دهنده کتاب در نظر گرفته اید ابتدا آن را ارائه دهید و پس از آن از دانش آموزان بخواهید که پیش سازمان دهنده کتاب را ببینند و متن نوشته شده آن را بخوانند. درباره آنها بحث کالسی انجام شود تا مفهوم مورد نظر نمایان گردد. اگر پیش سازمان دهنده ای غیر از پیش سازمان دهنده کتاب تهیه نکرده اید همان پیش سازمان دهنده کتاب )تصویری و متن( را ارائه کنید و مفهوم مورد نظر را بارز و روشن سازید. توجه داشته باشید که پیش سازمان دهنده در آغاز هر درس جدید الزم است ارائه شود. در موارد دیگری نیز ارائه پیش سازمان دهنده برای ایجاد انگیزه ضروری است مانند قبل از مرحله پرسش و پاسخ قبل از بحث و گفتگوی جمعی قبل از نمایش فیلم و.... چگونگی انجام فعالیت: برای انجام فعالیت نخست از دانش آموزان بخواهید که تمام بندهای فعالیت را یک بار بخوانند مانند خواندن صورت یک مسئله که می خواهیم آن را حل کنیم برای آنکه بدانیم داده ها چیست و خواسته ها با مجهول ها کدام است جورج پولیا این مرحله را فهمیدن مسئله و گام اول برای حل هر مسئله می داند. آن گاه از گروه های دانش آموزان بخواهید که بندهای فعالیت را به ترتیب و با توجه به مدت زمانی که شما تعیین می کنید انجام دهند معموال مدت زمان الزم برای انجام یک فعالیت که 4 بند دارد حدود 10 دقیقه است. البته این زمان با توجه به شرایط فعالیت می تواند تغییر کند. مدیریت وقت برای انجام بندهای فعالیت را به عهده خود دانش آموزان بگذارید. با شروع انجام فعالیت توسط دانش آموزان شما چند دقیقه )حدود 3 تا 4 دقیقه( روی صندلی خودتان بنشینید و بدون آنکه صحبتی بکنید گروه های دانش آموزان را زیر نظر بگیرید. پس از آن بلند

65 شوید و به آهستگی در کالس قدم بزنید به طوری که تمرکز دانش آموزان به هم نخورد. کارهای انجام شده و در حال انجام توسط گروه ها را در نظر بگیرید. بدفهمی ها و اشتباه های احتمالی را که می بینید یادداشت کنید راه حل های خالقانه را یادداشت کنید. اگر گروهی سؤالی داشتند پاسخ دهید. اگر گروهی فعالیت نمی کنند با طرح این سؤال که مشکل شما چیست آنها را راه بیندازید. ام ا توجه داشته باشید که کمک شما در حدی نباشد که پاسخ فعالیت را بدهد زیرا به گفته پولیا دیگر کاری باقی نمی ماند که دانش آموز انجام دهد. در صورتی که بیشتر دانش آموزان کالس در انجام فعالیت مشکل داشتند با راهنمایی های الزم و مناسب مشکل را حل کنید. پس از پایان زمان انجام فعالیت نماینده گروه هایی را پای تخته بیاورید که بدفهمی داشته اند. از آنها بخواهید که روش خود را ارائه دهند و آن گاه با بحث کالسی توسط دانش آموزان بدفهمی ها را برطرف سازید. با رفع تمام بدفهمی ها در واقع پاسخ درست توسط دانش آموزان ارائه می گردد. پس از رفع بدفهمی ها و اشتباه ها کسانی را که روش های خالقانه ای برای انجام فعالیت داشته اند پای تخته بیاورید تا با طرح آن روش ها توسط خودشان اوال دانش آموزان دیگر روش ها و راهبردهای دیگری برای انجام فعالیت را یاد بگیرند و ثانیا دانش آموزان خالق مورد تشویق قرار بگیرند تا در بین دیگر دانش آموزان انگیزه ای برای کشف راه حل های جدید و بدیع ایجاد گردد. در پایان از دانش آموزان سؤال شود که آیا کسی سؤال دیگری دارد در صورت وجود آن را با بحث کالسی پاسخ دهید. پس از انجام کارهای باال آموزش مفهوم در واقع انجام شده است. با این وجود می توانید به یک جمع بندی درباره پاسخ های درست فعالیت بپردازید. روش انجام کار در کالس: برای انجام کار در کالس همانند انجام فعالیت عمل کنید با این تفاوت که در جریان انجام فعالیت حضور معلم در انجام فعالیت پررنگ تر است و این حضور و کنترل در کار در کالس کمتر می باشد. البته معلم همواره در انجام فعالیت ها یا کار در کالس ها حضور دارد ولو آنکه آشکار نباشد. هدف اصلی فعالیت یا کار در کالس و مدیریت زمان همواره مدنظر معلم باید باشد. کار مهمی که در جریان انجام یک فعالیت و یا کار در کالس الزم است انجام شود ارزشیابی گروهی و فردی از دانش آموزان است. این ارزشیابی را در دفتری ثبت کنید. مجموعه این ارزشیابی ها می تواند معیار مناسب و منصفانه ای برای ارزشیابی پایانی باشد. نکتۀ مهم: معلمان محترم می توانند با تشخیص خود از روش های دیگر تدریس و یا ترکیبی از روش های تدریس برای آموزش مفاهیم استفاده کنند. 57

66 توسعه مفاهیم 58 یکی از هدفهای مهم آموزش توسعه مفاهیم است. توسعه مفاهیم در دو مسیر اصلی در کار در کالسها و در تمرینها به دو صورت تعمیم ریاضی و تعمیم عمومی میتواند اتفاق بیفتد. در تعمیم ریاضی مفهوم ریاضی قویتر )بزرگتر( میشود و افزایش مییابد. به مثال زیر درباره تعمیم ریاضی توجه کنید. مثال 1: سه عدد 5 3 و 7 داده شدهاند. ثابت کنید که عدد وسطی نصف مجموع دو عدد دیگر است = 5= 5= 5 حل. داریم: 2 2 پس حکم مسئله درست است. مثال 2: ثابت کنید که بین هر سه عدد فرد متوالی عدد وسطی نصف مجموع دو عدد دیگر است. حل: سه عدد فرد متوالی را 2-a 2+a a میگیریم. داریم: پس حکم برقرار است. به طوری که می بینید مثال 2 تعمیم ریاضی از مثال 1 است. (a 2) + (a + 2) 2a a = a = a = a 2 2 مثال 3: ثابت کنید مثلثی که ضلعهای آن 4 3 و 5 باشد قائم الزاویه است حل: داریم: = = = پس این مثلث قائم الزاویه است چون مربع اندازه یک ضلع آن مساوی مجموع مربعین اندازههای دو ضلع دیگر آن است. مثال 4: ثابت کنید هر مثلث به ضلعهای 4K 3K و 5K قائم الزاویه است. حل: باید مربع بزرگترین ضلع آن مساوی مجموع مربعین دو ضلع دیگر آن باشد. داریم: ( 5k ) = ( 3k) + ( 4k) 25k = 9k + 16k 25k = 25 k پس حکم درست است. به طوری که دیده میشود مثال 4 تعمیمی ریاضی از مثال 3 است: تعمیم ریاضی عمقی یا طولی است. تعمیم عمومی که در آن مفهوم ریاضی ثابت است ولی بافتهایی که مفهوم در آنها مطرح میشود تغییر میکنند. به عنوان مثال مفهوم نسبت در یک بافت محیطزیست مطرح شده است همین

67 مفهوم در بافت های دیگری مانند صنعت بازرگانی سالمت تغذیه و به کار گرفته شود. تعمیم عمومی عرضی است. مثال 1: یک مزرعه گندم سال گذشته 3000 کیلوگرم و امسال 2500 کیلوگرم محصول داشته است. نسبت مقدار تولید امسال این مزرعه به میزان تولید سال قبل را پیدا کنید. مثال 2: یک کارخانه دوچرخه سازی در سال 1390 تعداد 1200 دوچرخه و در سال 1392 تعداد 2000 دوچرخه تولید کرده است. نسبت تولید دوچرخه در سال 1390 به تعداد تولید دوچرخه در سال 1392 را تعیین کنید. مثال 3: محسن در سال 1392 مبلغ ریال در سال 1393 مبلغ ریال به یک مؤسسه خیریه بخشیده است. نسبت مقدار کمک محسن در سال 1393 به میزان کمک او در سال 1393 را تعیین کنید. مثال های باال تعمیم مفهوم نسبت در زمینه های کشاورزی صنعت و امور اجتماعی را نشان می دهد. در مورد مفاهیم دیگر نیز تعمیم عمومی وجود دارد. استفاده از ابزار و تکنولوژی استفاده از ابزار و تکنولوژی برای مراحل مختلف آموزش هم برای پیش نیازها و هم برای فعالیت ها کار در کالس ها و تمرین ها ضروری و الزم هستند. به عنوان مثال شکل های هندسی در دو بعد و سه بعد مانند: مثلث ها مربع ها دایره ها مکعب ها مکعب مستطیل ها و در رنگ های مختلف همچنین ابزار اندازه گیری طول مانند خط کش متر پارچه ای متر فلزی و ابزار اندازه گیری وزن ابزار اندازه گیری زمان ابزار اندازه گیری درجه حرارت فشار و دیگر ابزار اندازه گیری از ابزاری هستند که در آموزش مفاهیم این فصل ضروری هستند. جدول هایی که نمایشگر دو یا چند مقدار )کمیت( می باشند مانند جدول های آماری تولید محصوالت کشاورزی تولیدات صنایع مختلف میزان درجه حرارت مصرف آب مصرف مواد غذایی تعداد افراد مختلف تعداد گیاهان تعداد جانوران و به خصوص برای انجام مراحلی از آموزش ضروری می باشند. استفاده از برنامه های نرم افزاری رایانه ای در زمینه های مرتبط با نسبت تناسب و درصد فیلم های آموزشی در این زمینه ها و دیگر موارد مشابه برای آموزش در پیش سازمان دهنده ها فعالیت ها و کار در کالس ها و تمرین ها بسیار کمک کننده و مفید است. 59

68 روش تدریس صفحۀ عنوان در این صفحه دو تصویر و یک متن آمده است. هر دو تصویر و متن تواما به عنوان پیش سازمان دهنده برای ایجاد انگیزه به منظور یادگیری مفاهیم نسبت نسبت های مساوی تناسب و درصد است. از دانش آموزان بخواهید که نخست متن پایین صفحه را بخوانند و آن گاه به بررسی تصویر متن یعنی تصویر مسجد نصیرالملک شیراز برای پیدا کردن مفاهیم ریاضی موجود در آن بپردازند. توجه دانش آموزان را بیشتر به پیدا کردن کسرهایی که تعداد گل برگ ها با رنگ های مختلف و یا شکل هایی با رنگ های مختلف و کسرهای مساوی که در تصویر وجود دارند جلب کنید همچنین کسری که نمایشگر طول به عرض شکل های مستطیل موجود در تصویر است آن گاه از دانش آموزان بخواهید که یافته های خود از این تصویر را با انجام بحث کالسی مطرح کنند. در این تصویر موضوع ها و مفاهیم مختلف ریاضی مانند تقارن تشابه چند ضلعی های منتظم نسبت طالیی مارپیچ طالیی اعداد مربع کامل عددهای مبنای دستگاه های شمار مانند 10 و 5 و نسبت های مختلف در تعداد گل برگ ها با رنگ های مختلف وجود دارد. البته در بررسی این تصویر و تصویر دیگر نامی از نسبت تناسب و درصد به میان نمی آوریم بلکه از کسرهایی که با توجه به شکل می توان نوشت گفت وگو می کنیم. بعد از آموزش هر یک از مفاهیم نسبت نسبت های مساوی تناسب و درصد می توانیم مجددا به این تصویر برگردیم و مواردی را که به صورت کسر گفته ایم به صورت نسبت تناسب و درصد بیان کنیم. برخی از مفاهیم ریاضی که در این تصویر وجود دارند عبارت اند از: تعداد گل برگ های تمام گل ها 10 عدد است. شکل های به صورت همه 5 تایی هستند. اگر در کتیبه های سر در مساحت هر مربع را 1 فرض کنیم مساحت هریک از دو کتیبه کناری 16 و مساحت کتیبه وسطی 36 است که همه مجذور کامل اند. کسرهایی که تعداد گل برگ ها با رنگ های مشخص به تعداد گل برگ های هر گل را مشخص می کند کسرهای متفاوتی هستند مانند : 2 تعداد گل برگهای صورتی 6 3 تعداد گل برگهای سفید و _ = = = : در سمت چپ 8 تعداد گلبرگهای قرمز 4 2 تعداد گل برگهای سبز 60

69 برخی کسرهایی که تعداد مربع ها با رنگ های مختلف را مشخص می کنند عبارت اند از: 4 تعداد مربعهای سفید 8 تعداد مربعهای رنگی = : در کتیبه کنار = : در کتیبه وسط 7 تعداد مربعهای قرمز 18 تعداد مربعهای سفید دانش آموزان ممکن است کسرهای دیگری و یا مفاهیم ریاضی دیگری پیدا کنند. پس از بررسی تصویر متن تصویر گنبد سلطانیه زنجان بزرگترین گنبد خشتی جهان را بررسی کنید. این گنبد بر روی یک 8 ضلعی منتظم ساخته شده است و در ساختن آن در گچ بری ها و کاشیکاری های آن از ریاضیات استفاده فراوانی شده است. اطالعات بیشتری درباره این گنبد در زیر می آید: گنبد سلطانیه زنجان از نظر حجم سبک معماری رابطه فضاها تناسبات موجود در اجزای مختلف ایستایی و مقاومت بنا و زیبایی شناسی و تزیینات نمونه ای منحصر به فرد و نقطه تحولی در معماری اسالمی به شمار می رود. بدنه اصلی گنبد و تمام ساختمان آن با آجر ساخته شده و گنبد با روکش فیروزه ای و الجوردی به شیوه ای معر ق کاری تزیین شده است. کاشی های طالیی رنگ و منقش و هشت گوش تربت خانه که بخشی از بنای ساختمان گنبد سلطانیه است از لحاظ هنر کاشی پزی فوق العاده ممتاز و کم نظیر است. نقشه بنا در طبقه همکف و طبقه اول نزدیک به مستطیل و ادامه مجموعه در طبقه دوم و طبق ه سوم دارای نقشه 8 ضلعی منتظم است. گنبد آرامگاه به ارتفاع 48/50 متر و قطر دهانه 24/40 متر است که بزرگ ترین گنبد تاریخی در ایران و بزرگ ترین گنبد آجری در جهان است. این گنبد نخستین گنبد دو جداره در جهان است که ضخامت گنبد آن 160 سانتیمتر و فضای خالی بین دو جداره 60 سانتیمتر می باشد. سیستم دو جدار ه آن در ایستایی گنبد نقش مهمی دارد. گنبد بر روی 8 جرز سنگین )ضلع های 8 ضلعی منتظم( با عرض 6/7 متر قرار دارد که وزن 1600 تنی گنبد را به شالوده منتقل می کند. سطح مقطع هر کدام از این جرزها حداقل 50 متر مربع و بار وارد بر آنها 200 تن محاسبه شده است. در زوایای اضالع 8 ضلعی منتظم و در طبقه سوم و پشت بام گنبد خارجی 8 مناره تهیه شده است. این مناره ها از عناصری است که در حل مسائل استاتیکی نقش مؤثر دارند. گنبد سلطانیه از نظر تزیینات بسیار غنی بوده و در آن تزیینات مختلف گچ بری کاشی کاری کتیبه نویسی تزیینات رنگ و 61

70 62 نقاشی و تزیینات سنگی و چوبی در نهایت دقت و زیبایی اجرا شده است. این بنا ساعت آفتابی نیز هست. نوری که از سوراخ اصلی گنبد می تابد نشان دهنده زمان ظهر نوری که از پنجره های بزرگ می تابد نشان دهنده ساعت و نوری که از پنجره های کوچک می تابند نشان دهنده حدود دقیقه است. این بنا که در فاصله سال های 704 یا 712 هجری قمری توسط سلطان محمد خدابنده ساخته شده است در سال 1384 هجری شمسی در فهرست میراث جهانی یونسکو به ثبت رسیده است. برای اطالعات بیشتر به سایت میراث فرهنگی صنایع دستی و گردشگری ایران مراجعه کنید.

71 روش تدریس درس 1: نسبت. صفحه های 48 تا 51 اهداف 1 درک مفهوم نسبت بین دو مقدار )کمیت( 2 فهم ارتباط مفهوم نسبت با مفاهیم مرتبط با آن مانند تقسیم کسر 3 توانایی حل مسئلههای مرتبط با نسبت در درون ریاضی و در برون ریاضی 4 بازنمایی نمایشهای مختلف نسبت از جمله نمایشهای هندسی و تصویری 5 پی بردن به ارزش محیطزیست سالمت تغذیۀ سالم ابزارهای مورد نیاز : 1 لگوهای آموزشی نشاندهندۀ شکلها در دو بعد مانند مثلثها مربعها دایرهها و در رنگهای مختلف 2 احجام هندسی مانند مکعب مکعب مستطیل کره و در رنگهای مختلف 3 جدولها و نمودارهای مربوط به کمیتهای مختلف صنعتی بازرگانی کشاورزی و 4 متر پارچهای یا فلزی برای اندازهگیری طولها ترازو برای اندازهگیری وزن ساعت برای اندازهگیری زمان سرعتسنج و فشارسنج و دیگر وسیلههای اندازهگیری برای کمیتهایی که محاسبۀ نسبت آنها مورد نظر است. 5 استفاده از سایتهای ریاضی در ارتباط با مفهوم نسبت بین دو مقدار روش تدریس درس 1. نسبت. صفحۀ ٤٨ نخست پیش سازمان دهنده را ارائه کنید. اگر پیش سازمان دهنده ای مناسب تر از پیش سازمان دهنده ای که در کتاب آمده است تهیه کرده اید. آن را ارائه کنید و سپس از دانش آموزان بخواهید که به تصویر کتاب توجه کنند و متن زیر آن را بخوانند در غیر این صورت نخست پیش سازمان دهنده کتاب را ارائه کنید و سپس درباره اهمیت و نقش نعمت های خدادادی مانند فضای سبز موجود در کشور استان ها و شهرها در زندگی ما بحث و گفت وگو کنید. 63

72 اکنون این سؤال را مطرح کنید که اگر در شهری که 25 کیلومتر مربع مساحت دارد 3 کیلومتر مربع آن فضای سبز باشد چه کسری از آن فضای سبز است آن را بنویسند. 3 مساحت فضای سبز شهر = 25 مساحت کل شهر شبیه این مثال را برای موارد دیگری مانند تعداد دانشآموزان سال پنجم یک مدرسه به تعداد دانشآموزان کل آن مدرسه تعداد شمعهای خاموش یا روشن در یک دسته شمع به تعداد کل آن شمعها میتوانید با همفکری دانشآموزان مطرح کنید و از آنها بخواهید که کسر نمایش دهنده یک جزء انتخاب شده به کل کمیت را بنویسند. آنگاه از دانش آموزان بخواهید که متن مربوط به حیاط و فضای سبز موجود در آن را بخوانند. نخست روی کسری که نمایشگر فضای سبز موجود در حیاط به مساحت کل حیاط است تأکید شود و سپس این نکته بیان شود که 9 را نسبت مساحت فضای سبز موجود در این حیاط به مساحت کل 50 حیاط مینامند. در واقع با استفاده از کسر نسبت بین دو مقدار بیان میشود. اکنون به مثالهایی که قبال ارائه کردهاید برگردید و آنها را که به صورت کسر بیان کرده بودید به صورت نسبت بیان کنید. به عنوان مثال اگر گفته باشید کسری که مساحت فضای سبز یک شهر به مساحت کل آن شهر را نشان میدهد 3 است اینک بگویید که نسبت مساحت فضای سبز این شهر به مساحت 25 کل شهر 3 میباشد. و یا اگر گفته باشید کسری که تعداد شمعهای روشن به تعداد کل شمعها را 25 نشان میدهد است اینک بگویید که نسبت تعداد شمعهای روشن به تعداد کل شمعها است. روش تدریس فعالیت 1. صفحۀ 48 قبل از انجام این فعالیت میتوانید مرحلهای مجسم برای درک بهتر این فعالیت در نظر بگیرید به این صورت که دو دسته 3 تایی و 5 تایی دانشآموز را جلو کالس )پای تخته( بیاورید و آنها را گروههای )الف( و )ب( بنامید. تعداد افراد هر گروه را از دانشآموزان بپرسید و روی تخته کالس یادداشت کنید سپس تعداد مجموع این دو دسته را از دانشآموزان بپرسید و روی تخته کالس یادداشت کنید. )ب( 5 نفر مجموع 8 نفر )الف( 3 نفر 64

73 اکنون از دانش آموزان بپرسید که نسبت تعداد دانش آموزان دسته )الف( به تعداد کل این دانش آموزان چقدر است. پاسخ را روی تخته کالس یادداشت کنید. تعداد افراد گروه الف تعداد کل دو گروه = 3 8 سپس نسبت تعداد افراد گروه )الف( به تعداد افراد گروه )ب( را با کمک دانش آموزان تعیین و روی تخته کالس بنویسید. تعداد افراد گروه )الف( = 3 5 تعداد افراد گروه )ب( تعداد افراد گروه )ب( تعداد افراد کل دو گروه همچنین نسبتهای = 5 5 و = 8 را با پرسش 3 تعداد افراد گروه )الف( تعداد افراد گروه )ب( از دانشآموزان مشخص سازید. بعد از انجام مراحل باال از دانشآموزان بخواهید که ابتدا فعالیت 1 را مانند صورت یک مسئله یک بار بخوانند )برای فهمیدن مسئله( سپس از آنها بخواهید که بندهای این فعالیت را با توجه به مدت زمانی که شما تعیین میکنید انجام دهند.کار انجام شده و کار در حال انجام توسط دانشآموزان را کنترل کنید. بدفهمیها و اشتباههای احتمالی همچنین راه حلهای بدیع و خالقانه را یادداشت کنید و پس از پایان انجام فعالیت با طرح آنها توسط خود دانشآموزان به رفع بدفهمیها بپردازید و روشهای خالقانه راهم توسط کسانی که راه حل تازهای داشتهاند طرح کنید. در صورت لزوم به جمعبندی نتایج بپردازید. پاسخ : 8 5 ت( 8 به 5 یا 3 پ( 5 به 3 یا 3 ب( 3 به 5 یا الف( 3 به 8 یا یکی از اهداف این فعالیت محاسبه نسبت بین دو مقدار )کمیت( در حالتهای جزء به کل جزء به جزء و کل به جزء است. در ضمن در این فعالیت از کمیتهای پیوسته )متصل( برای محاسبه نسبت بین آنها استفاده کردهایم. مدت زمان انجام این فعالیت توسط دانشآموزان 10 تا 12 دقیقه و مدت زمان بحث کالسی برای رفع بدفهمیها و مدت 15 دقیقه پیشنهاد میشود. 65

74 66 الف( روش تدریس فعالیت 2. صفحۀ 48 این فعالیت یک فعالیت باز پاسخ است. از دانش آموزان بخواهید پس از خواندن صورت فعالیت آن رادر مدت زمانی که تعیین میکنید )پیشنهاد 6 دقیقه( انجام دهند. به روال انجام هر فعالیت کار انجام شده و کار در حال انجام توسط دانشآموزان را ثبت کنید. سپس کار هر گروه در کالس بررسی گردد و تفاوت پاسخهای به دست آمده توسط دانشآموزان و دلیل این تفاوتها روشن گردد. دو حالت خاص ممکن است پیش آید. حالت اول آن است که یک گروه از دانشآموزان تمام خانههای مستطیل را رنگ سبز بزنند که در این حالت به الزم بودن خیابان خانه و مدرسه و ساختمانهای دیگر توجه نکردهاند و حالت دوم آن است که هیچ خانهای را رنگ سبز نزنند که این حالت توجه نداشتن آنها به لزوم فضای سبز در یک شهر است. روش تدریس فعالیت 3. صفحۀ 49 از دانشآموزان بخواهید پس از خواندن فعالیت آن را در مدت زمان مشخص شده توسط شما انجام دهند. کار انجام شده را کنترل و بدفهمیهای احتمالی را با بحث کالسی بر طرف سازید. دو نکت ه مهم در این فعالیت وجود دارد. یکی آنکه کمیتهای داده شده گسسته )منفصل( میباشند و دیگر آنکه میخواهیم بگوییم همانند کسرها نسبتها نیز میتوانند کوچکتر از 1 )در این فعالیت ( 3 مساوی 5 1 )در این فعالیت 1 = ) 3 و یا بزرگتر از 1 )در این فعالیت ) 5 باشند: 3 3 پاسخ: ت( 3 پ( = ب( الف( 5 3 روش تدریس فعالیت 4. صفحۀ 49 مراحل انجام این فعالیت همانند فعالیتهای قبلی است ام ا نکته مهمی که در این فعالیت وجود دارد آن است که کمیتهای داده شده غیر همجنس میباشند زیرا یکی کیلومتر و دیگری ساعت است. همانطوری که قبال گفتیم نسبت بین دو کمیت غیرهمجنس را نرخ یا آهنگ )Rate( مینامند. ام ا ما در این کتاب نامی از نرخ نمیبریم و آن را نسبت بین دو کمیت مینامیم. در سالهای بعد درباره نرخ مطالب بیشتری خواهد آمد. پاسخ: ب( 700 کیلومتر یعنی هواپیما در مدت 1 ساعت 700 کیلومتر می پیماید که آن را به صورت

75 ساعت کیلومتر 700 و یا 700Km/h نشان میدهند و به آن سرعت هواپیما میگویند. پس از انجام فعالیتهای 1 تا 4 از دانشآموزان بخواهید که در زمینههای مطرح شده در کتاب و یا در زمینههای دیگری که نسبت در آنها اهمیت دارد مواردی را مطرح کنند و روی برخی از این موارد در کالس کار کنید. به عنوان مثال موارد زیر را میتوان مطرح کرد: نسبت مقدار فلز خالص به مقدار سنگ در یک معدن که برای مقرون به صرفه بودن استخراج آن معدن اهمیت دارد. نسبت دو طول )طول و عرض تخته کالس میز دانشآموزان کتاب درسی قد دو نفر ارتفاع دو کوه یا دو ساختمان. طول درخت و طول سایه آن و ( نسبت دو سطح نسبت دو حجم نسبت میزان تولید و یا مصرف در صنعت کشاورزی و نسبت دو وزن )افراد اشیاء ( نسبت دو کمیت غیر همجنس مانند نسبت مسافت پیموده شده توسط یک متحرک )اتومبیل هواپیما قطار دوچرخه انسان ( به مدت زمان صرف شده برای پیمودن این مسافت روش تدریس کار در کالس 1. صفحۀ 49 این کار در کالس به منظور آن است که ببینیم دانشآموزان به آن میزان از درک و فهم رسیدهاند که وقتی میگوییم. نسبت دو مقدار 2 به 3 است منظورمان چیست بهعالوه میخواهیم دانشآموزان به این نکته توجه کنند که برای انجام یک فعالیت یا کار در کالس راهبردهای مختلفی میتواند وجود داشته باشد. از دانشآموزان بخواهید روشهای کامل شده را بررسی و روشهای کامل نشده راکامل کنند کار انجام شده و کار در حال انجام آنها را زیرنظر بگیرید و بدفهمیهای احتمالی را یادداشت کنید.سپس با بحث کالسی توسط دانشآموزان به رفع اشتباههای احتمالی بپردازید. توجه داشته باشید که اشکان از دو طول و محاسبه نسبت جزء به جزء علی از دو سطح و محاسبه نسبت جزء به جزء پرویز از دو حجم و محاسبه نسبت جزء به جزء و ناصر از تصویر 3 مربع و محاسبه نسبت جزء به کل استفاده کرده است. در صورتی که دانشآموزانی کار در کالس را با راه حلهای جدیدی انجام داده باشند آنها را حتما ارائه دهید. تعداد مکعبهای رنگ شده پاسخ: 2 = تعداد مربعهای رنگ شده : ناصر 2 = : پرویز 3 تعداد کل مربعها 3 تعداد مکعبهای رنگ نشده 67

76 68 روش تدریس کار در کالس 2. صفحۀ 50 این کار در کالس یک کاربرد نسبت در درون ریاضی است. از دانشآموزان بخواهید که پس از خواندن کار در کالس آن را در مدتی که شما تعیین میکنید انجام دهند. کار انجام شده و کار در حال انجام آنها را به منظور ثبت بدفهمیهای احتمالی و یا راه حلهای خالقانه ثبت کنید. پس از انجام فعالیت توسط دانشآموزان به رفع بدفهمیهای احتمالی و ارائه روشهای جدید )در صورت وجود( توسط خود دانشآموزان بپردازید. در صورت لزوم با یک جمعبندی کار را به پایان ببرید. پاسخ: الف( = ٣ ٦ 2 ب( طول مستطیل 3 برابر عرض آن است در واقع میتوان گفت نسبت بین دو مقدار که یک عدد مطلق است مشخص میکند که یک کمیت چند برابر کمیت دیگر است. حتی اگر این نسبت عددی غیر صحیح باشد. به عنوان مثال در شکل روبهرو داریم: 6 تعداد مثلثها = = تعداد مربعها بنابراین میتوانیم بگوییم که تعداد مثلثها 3 برابر تعداد مربعهاست. 2 روش تدریس کار در کالس 3. صفحۀ 50 این کار در کالس یک کاربرد نسبت در برون ریاضی است. برای انجام این کار در کالس دانشآموزان باید توجه کنند که این چاشنی از 6=3+1+2 قاشق ادویه درست شده است. از دانشآموزان بخواهید که پس از خواندن صورت کار در کالس آن را انجام دهند. کار انجام شده را کنترل کنید و بدفهمیهای احتمالی را توسط خود دانشآموزان رفع کنید. 2 1 مقدار زنجبیل 1 مقدار فلفل 3 1 مقدار زردچوبه پاسخ: = = و = = = 6 3 چاشنی درست شده 6 چاشنی درست شده 6 2 چاشنی درست شده روش تدریس کار در کالس 4. صفحۀ 50 این کار در کالس نیز یک کاربرد نسبت در برون ریاضی و از طرفی یک نرخ است. از دانش آموزان بخواهید که پس از خواندن متن آن کار در کالس را انجام دهند.کار انجام شده را کنترل و با بحث کالسی بررسی کنید.

77 پاسخ: 48 الف( 4 ب( = یعنی حلزون در 1 ساعت 12 متر را میپیماید. 4 حل تمرین های درس 1 نسبت. صفحه های 50 و 51 1 با توج ه به شکل های داده شده نسبت های زیر را به دست آورید. = 3 7 نسبت تعداد مرب ع ها به تعداد کل شکل ها = 4 7 نسبت تعداد مثل ث ها به تعداد کل شکل ها = 4 3 نسبت تعداد مثل ث ها به تعداد مرب ع ها = 3 4 نسبت تعداد مرب ع ها به تعداد مثل ث ها 2 با توج ه به شکل نسبت های زیر را تعیین کنید. پ ب آ = 5 3 نسبت اندازه پاره خط ب پ به اندازه پاره خط آ ب = 3 5 نسبت اندازه پاره خط آ ب به اندازه پاره خط ب پ = 5 8 نسبت اندازه پاره خط ب پ به اندازه پاره خط آ پ = 3 8 نسبت اندازه پاره خط آ ب به اندازه پاره خط آ پ 69

78 3 شکل های زیر به قسمت های مساوی تقسیم شده اند. در هر شکل نسبت مساحت قسمت رنگ شده را به مساحت کل شکل به دست آورید = نتیجه بازی های یک تیم فوتسال در یک سال در جدول زیر آمده است. با توجه به داده های جدول جاهای خالی زیر را پر کنید. ب رد باخت تساوی تعداد ب رد 14 تعداد ب رد 14 7 تعداد ب رد 4 تعداد باخت 7 تعداد تساوی = = = = = = 2 = 25 تعداد کل بازی 7 تعداد تساوی 4 2 تعداد باخت 25 تعداد کل بازی 25 تعداد کل بازی 70 5 کیمیا 36 صفحه یک کتاب را در مدت 4 ساعت خواند. فرزانه 30 صفحه از همان کتاب را در مدت 3 ساعت خواند. الف( نسبت تعداد صفحات خوانده شده به تعداد ساعت ها را برای هر دو نفر حساب کنید. تعداد صفحه : فرزانه = 30 = 10 3 تعداد ساعت 36 = = 9 4 ب( کیمیا در هر ساعت چند صفحه خوانده است فرزانه چطور کیمیا 9 صفحه فرزانه 10 صفحه 6 طول درختی یک متر و 80 سانتیمتر و اندازه سایه آن درخت 120 سانتیمتر است. نسبت اندازه سایه این درخت به طول آن را تعیین کنید. تعداد صفحه : کیمیا تعداد ساعت

79 حل. باید واحدها را یکسان سازیم: طول درخت برحسب سانتیمتر 180= متر به سانتیمتر 100=100* اندازه سایه درخت = = اندازه طول درخت ٧ با توج ه به اندازه ضلع های دو مثل ث زیر الف( جاهای خالی را پر کنید. 12 بزرگ ترین ضلع مثلث )ب( = =2 6 بزرگ ترین ضلع مثلث )الف( )الف( 6 3 ۵ 6 کوچک ترین ضلع مثلث )ب( = =2 3 کوچک ترین ضلع مثلث )الف( 10 ضلع دیگر مثلث )ب( = =2 5 ضلع دیگر مثلث )الف( )ب( ب( نسبت های باال را پس از ساده کردن با هم مقایسه کنید. این سه نسبت با هم مساوی اند زیرا داریم: = = = نکته. این تمرین به منظور آمادگی ذهنی برای درس بعدی یعنی نسبت های مساوی است )برای ایجاد انگیزه( توصیه های آموزشی 1 در این کتاب در ارائه مفهوم نسبت بین دو کمیت همجنس )مثل دو طول یا دو وزن( و ارائه مفهوم نسبت بین دو کمیت غیر همجنس )مثل طول و زمان تعداد صفحات یک کتاب و زمان( تفاوتی در نظر گرفته نشده است حال آنکه اولی نسبت بین دو کمیت )Ratio( است و دومی نرخ یا آهنگ )Rate( نامیده میشود. معلمان محترم هم در این مقطع تحصیلی نباید از نرخ یا آهنگ نامی ببرند و باید آن را نسبت معرفی کنند. در سالهای بعد نرخ یا آهنگ معرفی خواهد شد. 2 در ارائه مفهوم نسبت و یا در کاربردها و تمرینهایی که ممکن است ارائه آنها برای تکمیل مطرح گردد. آموزش برای کالس یا برخی از دانشآموزان الزم باشد نباید حالتهای 0 عدد و 0

80 3 در ارائه مفهوم نسبت نسبت جزء به جزء نسبت جزء به کل نسبت کل به جزء مورد تأکید است. دانش آموزان باید در محاسبه این نسبت ها به مهارت دست یابند. بدفهمی های رایج دانش آموزان در ساده کردن نسبت ها باید توجه داشته باشیم که صورت و مخرج نسبت را تنها در یک عدد مخالف صفر می توان ضرب کرد و یا بر یک عدد مخالف صفر می توان تقسیم نمود. جمع کردن صورت و مخرج نسبت با یک عدد و یا کم کردن یک عدد از صورت و مخرج نسبت درست نیست مگر آنکه نسبت برابر 1 باشد مانند 5 و 20 و. 32 در ضمن انجام دو عمل متفاوت ضرب و تقسیم در صورت و مخرج یک نسبت درست نیست به نمونههای زیر توج ه فرمایید. * , 12? ? = = ? ? =, = ? = ? = = ? ? = = =

81 روش تدریس درس 2 : نسبت های مساوی. صفحه های 52 تا 55 اهداف ١ درک مفهوم نسبتهای مساوی ٢ حل مسئلههای مرتبط با نسبتهای مساوی در درون ریاضی و ریاضی و علوم دیگر ٣ فهم ارتباط نسبتهای مساوی با مفاهیم مرتبط ٤ باالبردن مهارتهای محاسباتی در مورد نسبتها. ابزارهای مورد نیاز : ١ ابزار مختلف اندازهگیری برای تعیین نسبتهای مساوی و نسبتهایی که مساوی نیستند. ٢ اشیاء تصویرها جدولها و نمودارهایی که در آنها نسبتهای مساوی و نامساوی وجود دارند مانند شکلهای هندسی در دو بعد و سه بعد تعداد شاگردان در دو مدرسه در سالهای مشابه فضاهای سبز چند استان کشور تعداد گیاهان یا درختان در دو بوستان میزان تولید و مصرف در کشاورزی صنایع و ٣ سایتهای ریاضی که در آنها مطالبی در ارتباط با نسبتهای مساوی و نامساوی دارند. 73

82 ارائۀ پیش سازمان دهنده به عنوان پیش سازمان دهنده برای آموزش مفهوم نسبت های مساوی می توانید از نسبت تعداد نیمکت ها و تعداد دانش آموزانی که روی هر نیمکت نشسته اند استفاده کنید )این تعداد باید یکی باشد(. به عنوان مثال اگر کالس ٨ نیمکت داشته باشد و روی هر نیمکت ٢ نفر نشسته باشند جدول زیر را ارائه کنید. 1 نیمکت دانش آموز 4 10 تعداد نیمکت تعداد دانش آموز = 8 2 از دانش آموزان بخواهید که این جدول را کامل کنند و سپس نسبت هایی را که به دست آمده ساده کنند و با هم مقایسه نمایند و با بحث کالسی مساوی بودن آنها تبیین گردد. از پیش سازمان دهنده های دیگری نیز می توانید استفاده کنید. روش تدریس فعالیت ١. صفحۀ ٥٢ اگر پیش سازمان دهنده ای برای ایجاد انگیزه به منظور یادگیری نسبت های مساوی ارائه کرده اید از دانش آموزان بخواهید که این فعالیت را انجام دهند. کار انجام شده توسط دانش آموزان را کنترل کنید و بد فهمی های احتمالی را رفع نمایید و راه حل های جدید را مطرح کنید. پاسخ: )الف( بلی است زیرا نصف همان 1 است یعنی داریم: 2 مقدار شربت در لیوان ١ = مقدار شربت در پارچ و ٢ گنجایش کل لیوان ١ = ٢ گنجایش کل پارچ پس این دو نسبت با هم مساوی اند و گنجایش لیوان و پارچ در آن نقشی ندارد. پاسخ: )ب( خیر است. درصورتی که گنجایش لیوان و پارچ مساوی نباشند. ام ا درصورتی که گنجایش لیوان و پارچ مساوی باشد پاسخ بلی است. 74

83 پاسخ: )پ( آن است که شیرینی شربت درست شده در لیوان و پارچ یکی است. زیرا نسبت شربت و آب در هر دو یکی است. نکتۀ ١: اگر پیش سازمان دهنده ای در نظر نگرفته اید می توانید از همین فعالیت به عنوان پیش سازمان دهنده استفاده کنید. در این صورت فعالیت زیر را نیز می توانید ارائه کنید. فعالیت: در یک لیوان ٢ پیمانه شربت و ٣ پیمانه آب و در یک پارچ ٤ پیمانه شربت و ٦ پیمانه آب ریخته ایم. الف( نسبت مقدار شربت به مقدار آب در لیوان را تعیین کنید. = ب( نسبت مقدار شربت به مقدار آب در پارچ را تعیین کنید. = پ( دو نسبت به دست آمده باال رابا هم مقایسه کنید. درصورتی که این دو نسبت مساوی باشند تساوی مربوط به آنها را بنویسید. نکته : از فعالیت زیر نیز می توانید برای آموزش مفهوم نسبت های مساوی استفاده کنید. این فعالیت نشان می دهد که مساوی بودن نسبت ها به نوع و اندازه شکل بستگی ندارد. فعالیت: هریک از شکل های داده شده به قسمت های مساوی تقسیم شده اند: الف( در هر یک از شکل های )١( و )٢( نسبت مساحت قسمت رنگ شده به مساحت کل شکل را به دست آورید و تا حد امکان ساده کنید. 75 = = )١( )2( )3( )4( (١) (٢) ب( این دو نسبت را با هم مقایسه کنید و در صورت مساویبودن تساوی مربوط به آنها را بنویسید.... پ( مراحل )الف( و )ب( را برای شکلهای )٣( و )٤( انجام دهید. (٣) (٤)...

84 ت( مراحل )الف( و )ب( را برای شکلهای )٥( و )٦( انجام دهید. (٦) (٥) )5( )6( از فعالیت باال چه نتیجهای میگیرید آیا میتوانیم بگوییم که دو نسبت 3 6 آیا میتوانیم بنویسیم: 3 4 و = با هم برابرند روش تدریس فعالیت ٢. صفحۀ ٥٢ از دانش آموزان بخواهید که پس از خواندن صورت فعالیت آن را انجام دهند. کار انجام شده را کنترل و بدفهمی های احتمالی را توسط دانش آموزان و با بحث کالسی رفع کنید و روش های خالقانه را نیز طرح نمایید. در پایان به جمع بندی کار انجام شده بپردازید. توجه داشته باشیدکه در این فعالیت کمیت های مطرح شده متفاوت می باشند. پاسخ: بلی است زیرا داریم: مساحت قسمت رنگ شده = 3 4 )الف( مساحت کل شکل مساحت قسمت رنگشده مساحت کل شکل 6 3 = = )ب( چون = است پس این دو شکل به یک نسبت رنگ شدهاند. روش تدریس کار در کالس. صفحۀ ٥٢ این کار در کالس باهدف آوردن مثال با نامثال برای پیدا کردن نسبت های مساوی و نسبت هایی که مساوی نیستند از بین چند نسبت ارائه گردیده است. پس ازخواندن صورت فعالیت از دانش آموزان بخواهید که مانند نمونه انجام شده این فعالیت را انجام دهند. کار انجام شده توسط آنها را کنترل و با بحث کالسی بد فهمی های احتمالی را رفع کنید و راه حل های جدید را نیز )در صورت وجود( بررسی کنید.

85 پاسخ: = فوتبال 24 4 = والیبال = شنا = اسبسواری = 2 فوتسال = بسکتبال نسبتهای بهدستآمده با هم مساوی نیستند. ام ا ٣ نسبت بهطوری که دیده میشود همه 4 24 میباشند با هم مساویاند و تساوی مربوط به آنها بهصورت و 80 و که همگی مساوی = = است. 36 دو نسبت 30 و که هر دو مساوی هستند نیز با هم مساوی اند و تساوی مربوط به آنها با هیچیک از نسبتهای دیگر بهدست آمده در این بهصورت = است. ام ا نسبت یا فعالیت مساوی نیست. روش تدریس فعالیت. صفحۀ ٥٣ این فعالیت دو هدف اصلی دارد یکی آنکه میزان درک دانشآموزان از مساویبودن دو نسبت را بفهمیم و دیگر آنکه دو ویژگی از نسبتهای مساوی را که در سال چهارم دبستان در مورد کسر دیدهایم در مورد نسبتها نیز مورد بررسی قرار دهیم که این دو مورد در پایان فعالیت آمده است. از دانشآموزان بخواهید که پس از خواندن صورت فعالیت آن را انجام دهند و هریک از روشهای ارائهشده را بررسی کنند آنگاه با بحث کالسی هریک از این روشها را تبیین کنید و اشتباههای احتمالی را نیز با بحث کالسی برطرف سازید. در روش هاله از رسم شکل هندسی استفاده شده است. نخست مستطیل به ٦ قسمت مساوی تقسیم شده و ٤ قسمت از آن رنگ شده تا نسبت 4 مشخص گردد. سپس با رسم خط عمودی مستطیل به ١٢ قسمت مساوی تقسیم شده است که ٨ قسمت از آن رنگ شده است یعنی کسر 4 8 تبیین میشود و درنتیجه تساوی = مشخص میگردد در روش نسرین هریک از نسبتها به سادهترین صورت ممکن تبدیل شده است که هردو مساوی = است می باشند نتیجه می شود که 6 12

86 روشن شده است. 4 8 در روش مهتاب صورت و مخرج 4 در ٢ ضرب شده است و تساوی = مشخص گردد بر ٢ استفاده شده تا تساوی = در روش نسیم از تقسیم صورت و مخرج روش تدریس کار در کالس ها. صفحه های ٥٣ و ٥٤ کار در کالس های ارائه شده در این قسمت کاربردهای مفهوم نسبت های مساوی در درون ریاضی و در ریاضی و علوم دیگر است. روش تدریس کار در کالس ١. صفحۀ ٥٣ نسبت بین دو مقدار و یکی از آن دو مقدار داده شده است و مقدار دیگر خواسته شده است. نکتهای که باید در این کار در کالس مورد توجه قرار گیرد آن است که با توجه به نسبت دادهشده بین دو مقدار آیا مقدار بزرگتر در صورت نسبت قرار دارد و یا در مخرج آن بهعنوان مثال اگر نسبت بین دو عدد 2 باشد در نسبتهای مساوی آن عدد بزرگتر در مخرج نسبت قرار دارد زیرا > ٢ ٣ 3 است. بدیهی است که عدد کوچکتر در صورت نسبتهای مساوی قرار خواهد داشت زیرا >٢ ٣ است. بهعنوان مثال: = = = = پاسخ: ب( = 1 16 = 16 الف( 1 4 روش تدریس کار در کالس ٢. صفحۀ ٥٤ قسمت )الف( این کار در کالس شبیه فعالیت قبلی است تنها الزم است ابتدا نسبتهای دادهشده را که بهصورت ١٢ به ٢٠ و ١٨ به ٣٠ نوشته شده است بهصورت 12 و 18 بازنمایی کرده آنگاه مساویبودن آنها را به یکی از روشهایی که در فعالیت صفحه ٥٣ آمده است و یا روشهای دیگر بررسی کنیم. کار انجامشده را کنترل کنید و بدفهمیهای احتمالی را رفع نمایید و راهحلهای ابتکاری را )در صورت وجود( مطرح سازید. پاسخ: 12 = 3, 18 = 3 12 = الف( 78

87 هدف قسمت )ب( آن است که با استفاده از ویژگی نسبت های مساوی مانند نمونه حل شده عدد مناسب برای هر قسمت نوشته شود. ب( با توج ه به تساوی نسبت ها در جاهای خالی عدد مناسب قرار دهید. ٣ ٤ ٧ ٩ 6 2 = = = = = = ٣ ٤ ٧ ٩ = = = = روش تدریس کار در کالس ٣. صفحۀ ٥٤ هدف قسمت )الف( این کار در کالس آن است که دانشآموزان با استفاده از رسم شکل نسبتی مساوی نسبت 3 بنویسند که مخرج آن ١٢ باشد. 4 در مورد نسبت 3 مستطیل به ٤ قسمت مساوی تقسیم شده است ٣ قسمت از آن را رنگ 4 زدهایم. داریم: مساحت قسمت رنگشده = 3 4 مساحت کل مستطیل اکنون ما می خواهیم نسبتی مساوی نسبت )١( )2( 3 4 بنویسیم که مخرج آن ١٢ باشد. پس باید مستطیل داده شده به ١٢ قسمت مساوی تقسیم شود یعنی هر مستطیل کوچک در شکل قبلی به ٣ مستطیل مساوی جدید تقسیم گردد. در این صورت ٣ مستطیل کوچک رنگ شده در شکل )١( به ٩ مستطیل کوچک جدید که رنگ شدهاند در شکل )٢( تبدیل میشود یعنی 3 9 = داریم: 4 12 از دانشآموزان بخواهید که قسمت )الف( این فعالیت را انجام دهند. سپس کار انجام شده را کنترل و با بحث کالسی بررسی کنید. بدفهمیها را رفع و راهحلهای ابتکاری را در کالس توسط دانشآموزان مطرح کنید.

88 در قسمت )ب( از دانش آموزان خواسته شده که بدون رسم شکل یک نسبت مساوی نسبت بنویسند که مخرج آن ٢٤ باشد یعنی در جای خالی مساوی گردند با استفاده از ویژگی نسبت های مساوی خواهیم داشت: = عدد مناسبی نوشته شود تا دو نسبت ٦ 3 18 = 4 24 ٦ از دانشآموزان بخواهید که قسمت )ب( را انجام دهند. کار انجامشده را با بحث کالسی کنترل و بررسی کنید و بدفهمیهای احتمالی را رفع نمایید. روش انجام قسمت )پ( شبیه قسمت )ب( است. از دانشآموزان بخواهید که آن را انجام دهند. کار انجامشده را کنترل و با بحث کالسی بررسی کنید. ٦ پاسخ: 3 18 = 4 24 ٦ برای انجام قسمت )ت( باید ٤ نسبت مساوی نسبت 3 بنویسیم. ٣ نسبت از آنها میتوانند 4 نسبتهای بهدستآمده در قسمتهای قبل باشند. ام ا میتوانیم بدون استفاده از پاسخهای بهدستآمد ه قبلی صورت و مخرج نسبت 3 رادر ٤ عدد مختلف )عددهای متوالی و یا غیرمتوالی( مخالف صفر 4 ضرب کنیم. این قسمت باز پاسخ است. نمونۀ پاسخ: = = = = = = = و یا از دانش آموزان بخواهید که قسمت )ت( را انجام دهند. کار انجام شده را کنترل و با بحث کالسی بررسی کنید. بدفهمی های احتمالی را رفع و راه حل های جدید را مطرح کنید. 80

89 حل تمرین های درس. 2 نسبت های مساوی. صفحه های 54 و 55 ١ با دسته بندی های مناسب برای شکل داده شده نسبت های مساوی پیدا کنید و تساوی مربوط به این نسبت های مساوی را بنویسید = = = = = پاسخ: = = = = = ٢ نسبتهای دادهشده در هر قسمت را بنویسید و تا حد امکان ساده کنید. سپس تساویهای مربوط به نسبتهای مساوی را بنویسید. ت( ٢ به ٤٢ پ( ٣٠ به ٣٦ ب( ١٨ به ٩٠ الف( ٣٠ به ٢٥ ٧ به ٢٨ ١٠ به ١٢ ٣٠ به ١٥٠ ٣٠ به ١٢ )الف 30 6 = = 12 2 )ب این دو نسبت مساوی نیستند 18 1 = = = = )پ 30 5 = = = = 12 6 )ت 2 1 = = 28 4 این دو نسبت مساوی نیستند 81

90 ٣ کدام یک از نسبت های زیر مساوی اند الف( ١٢ میکروسکوپ برای ٥٤ دانش آموز ٨ میکروسکوپ برای ٣٦ دانش آموز )الف 12 2 = = = = 36 9 ب( ٦ مرب ی برای ٤٠ شناگر ٩ مرب ی برای ٦٠ شناگر )ب 6 3 = = = = پ( ٢٥٠ کیلومتر در مد ت ٤ ساعت ٧٥٠ کیلومتر در مد ت ١٢ ساعت )پ = = = = 12 2 ت( ٤ توپ برای ٦ نفر ٨ توپ برای ١٦ نفر )ت 4 2 = = = = این دو نسبت مساوی نیستند ٤ الف( یک نسبت مساوی 5 بنویسید که صورت آن ٧٥ باشد. 3 ١٥ ١٥ ٨ = = ٨ ب( یک نسبت مساوی 5 بنویسید که مخرج آن ٢٤ باشد. 3 82

91 ٥ در جاهای خالی عدد مناسب بنویسید تا نسبت های مساوی به دست آیند. ٤ ٢ 5 20 = = 8 4 ٤ ٢ ٣ = = = ٣ ٣٠ = = = ٣٠ = = = = ٦ کدام یک از محاسبه های زیر درست و کدام یک نادرست است توضیح دهید. 2 ٢ ٢ پ( = 8 4 = 3 6 ب( 8 4 = 12 2 ٢ ٢ الف( 8 16 پاسخ: )الف( درست است زیرا صورت و مخرج نسبت هر دو در ٢ ضرب شده اند. )ب( درست است زیرا صورت و مخرج نسبت هر دو بر ٢ تقسیم شده اند. )پ( نادرست است زیرا صورت در ٢ ضرب شده ام ا مخرج بر ٢ تقسیم شده است. 83

92 12 10 ٧ با توجه به شکل روبه رو به سؤاالت زیر پاسخ دهید. الف( نسبت اندازه کوچک ترین ضلع مثلث بزرگ به اندازه محیط آن را پیدا کنید. ب( نسبت اندازه کوچک ترین ضلع مثل ث کوچک به اندازه محیط آن را پیدا کنید. پ( آیا این دو نسبت با هم برابرند ۵ پاسخ: الف( اندازه محیط مثلث بزرگ را به دست می آوریم 28= از آنجا: اندازه کوچک ترین ضلع مثلث بزرگ اندازه محیط مثلث بزرگ 6 3 = = ب( اندازه محیط مثلث کوچک را به دست می آوریم: 14= از آنجا: اندازه کوچک ترین ضلع مثلث کوچک = 3 14 اندازه محیط مثلث کوچک و عرض آن 3 پ( این دو نسبت برابرند. 8 یک مستطیل رسم کنید که نسبت طول آن به طول مستطیل رسم شده عرض مستطیل رسم شده باشد. نسبتهای زیر را بنویسید. محیط مستطیل جدید = محیط مستطیل رسم شده مساحت مستطیل جدید = مساحت مستطیل رسم شده 84

93 پاسخ: چون اندازه طول مستطیل رسم شده ٥ است پس اندازه طول مستطیل جدید می باشد و چون عرض مستطیل رسم شده ٣ است پس اندازه عرض مستطیل جدید بود بنابراین: و از آنجا: اندازه مساحت مستطیل جدید 3 5 = = خواهد 2=16 * ) +3 (5 = اندازه محیط مستطیل رسم شده 2= 8 * +1) (3 = اندازه محیط مستطیل جدید =15 3 * 5 = اندازه مساحت مستطیل رسم شده 1= 3 * 3 = اندازه مساحت مستطیل جدید 8 1 = = 16 2 = 3 15 اندازه مساحت مستطیل رسم شده اندازه محیط مستطیل جدید اندازه محیط مستطیل رسم شده توصیه های آموزشی ١ با انجام مرحله مجسم و تقسیم دانش آموزان به گروه های متناسب و همچنین گروه هایی که متناسب نیستند نسبت های مساوی و نامساوی را بسازید. ٢ نسبت های مساوی هم برای نسبت )Ratio( و هم برای نرخ )Rate( مطرح گردند ام ا نام نرخ در این مقطع مطرح نگردد. همچنین نسبت های نامساوی تبیین گردند. ٣ از عددهای اعشاری و عددهای مخلوط برای بیان نسبت های مساوی در این مقطع استفاده نکنید. ٤ در این مقطع برای ساده کردن نسبت ها به منظور بررسی مساوی بودن یا مساوی نبودن آنها از عددهای اعشاری استفاده نکنید مثال نسبت 3 2 را به صورت 1/5 ننویسید. ٥ برای ساده کردن نسبت ها از روش ساده کردن کسرها استفاده کنید که دانش آموزان آن را می دانند. ٦ در نسبت های مساوی همانند کسرهای مساوی رابطه هم ارزی وجود دارد و از این ویژگی در حل مسائل مربوط به نسبت های مساوی استفاده می کنیم. 7 در آموزش خود نسبت های نامساوی را هم در کنار نسبت های مساوی آموزش دهید. 85

94 روش تدریس درس 3 : تناسب. صفحه های 56 تا 59 اهداف ١ فهمیدن مفهوم تناسب ٢ فهم ارتباط تناسب با مفاهیم مرتبط با آن مانند نسبتهای مساوی ٣ توانایی بهکارگیری تناسب در حل مسئلهها در درون ریاضی و ریاضی و علوم دیگر ٤ پیبردن به اهمیت و ارزش محیط زیست تغذیه سالمت آب کشاورزی کار و ابزارهای مورد نیاز : ١ ابزار اندازهگیری مانند متر ترازو دماسنج فشارسنج ساعت و ٢ لبنیات میوهجات غالت و که در آنها کمیتهای متناسب وجود دارند مانند شیر و مواد موجود در آن پرتقال یا میوهجات دیگر و میزان ویتامینهای موجود در آنها گندم و میزان سبوس موجود در آن اسفناج و میزان آهن موجود در آن و موارد مشابه. ٣ تصویرها جدولها و نمودارهایی از کمیتهایی متناسب مانند جدولهای میزان مواد تشکیلدهندۀ گندم و همچنین کمیتهایی که متناسب نیستند. ٤ سایتهای ریاضی مرتبط با کمیتهای متناسب و نامتناسب و تناسب. 86

95 روش تدریس درس 3. تناسب صفحۀ 56 در ابتدای این درس یک پیش سازمان دهنده ارائه گردیده است )یک تصویر و یک متن( شما می توانید با طرح این پرسش که لبنیات چیست و چه فایده هایی برای ما دارد پس از ارائه مطالبی درباره لبنیات توسط دانش آموزان نام تعدادی از آنها را روی تخته کالس و در یک جدول بنویسید و درباره فواید هرکدام بحث کالسی انجام دهید. آنگاه توجه دانش آموزان را به شیر و انواع آن )شیر گاو و شیر گوسفند و ( جلب کنید و مواد ی را که در آنها وجود دارد مطرح کنید. این ترکیبات می تواند در شیرهای مختلف با هم تفاوت داشته باشد آنگاه توجه دانش آموزان را به کلسیم موجود در شیر و نقش آن در سالمت انسان و استخوان بندی و جلب کنید و در این باره بحث کالسی کنید. از دانش آموزان بخواهید که متن باالی صفحه را بخوانند و پس از آن برای آنها روشن سازید که ما می خواهیم بدانیم آیا بین یک مقدار شیر و مقدار کلسیم موجود در آن رابطه ای وجود دارد اکنون از دانش آموزان بخواهید که پس از خواندن صورت فعالیت ١ بندهای آن را به ترتیب انجام دهند. با توجه به جدول داده شده کلسیم )گرم( شیر )لیتر( آزمایش ١ ١٢ ١٠ آزمایش ٢ ١٨ ١٥ پاسخ: الف( چنین است 12 6 مقدار کلسیم : آزمایش ١ = = 10 5 مقدار شیر 18 6 مقدار کلسیم : آزمایش 2 = = 15 5 مقدار شیر پاسخ: 6 5 می باشند ب( آیا این دو نسبت برابرند بلی = است. چرا زیرا هر دو نسبت مساوی )سادهترین صورت آنها یکی است( بهطور کلی: هر دو نسبت مساوی یک تناسب را تشکیل می دهند. 87

96 پاسخ: پ( در ٢٠ لیتر شیر چند گرم کلسیم وجود دارد 24 گرم کلسیم برای به دست آوردن ٦ گرم کلسیم به چند لیتر شیر نیاز داریم 5 لیتر شیر ٢ = = ٢ ٢ = = ٢ اکنون از دانش آموزان بخواهید که جدول را کامل کنند و با استفاده از آن ٤ تناسب بنویسند. آزمایش ٢ آزمایش ١ کلسیم )گرم( شیر )لیتر( ١٢ ١٠ ١٨ ١٥ ٢٤ ٢٠ ٦ ٥ =, =, =, =, در مثال باال دو مقدار کلسیم و شیر با هم متناسبند. نکته: فعالیت ١ را به صورت زیر نیز می توانید انجام دهید. فعالیت: دو مقدار از یک نوع شیر در یک آزمایشگاه صنایع شیر برای تعیین مقدار کلسیم موجود در آنها مورد آزمایش قرار گرفت و مشخص شد که در ١٠ لیتر از این شیر ١٢ گرم کلسیم و در ١٥ لیتر از این شیر ١٨ گرم کلسیم وجود دارد. ١ نسبت اندازه کلسیم به مقدار شیر را برای هر مقدار شیر تعیین کنید = = ٢ این دو نسبت را با هم مقایسه کنید. چه نتیجهای میگیرید این دو نسبت با هم مساویاند. دو نسبت که با هم مساوی باشند یک تناسب تشکیل می دهند. 88

97 آیا دو نسبت به دست آمده در باال یک تناسب تشکیل می دهند آن را بنویسید = آیا برای مقدارهای دیگری از این نوع شیر نسبت اندازه کلسیم به مقدار شیر همین مقدار است یا تغییر می کند آزمایشگاه اندازه کلسیم موجود در ٢٠ لیتر دیگر از این شیر را ٢٤ گرم تعیین کرد. نسبت انداز ه کلسیم به مقدار شیر برای این مقدار از شیر را تعیین کنید و این نسبت را با نسبت های قبلی مقایسه کنید. چه نتیجه ای می گیرید و = 20 5 = 18 = 24 = نسبت اندازه کلسیم به مقدار شیر در هریک از آزمایش های باال یکسان است )یکی است(. از آزمایش های دیگر برای مقدارهای دیگری از این شیر نیز همین نسبت به دست آمده یعنی مقدار افزایش کلسیم متناسب با مقدار افزایش شیر است. مقدارهای شیر و اندازه کلسیم موجود در آنها در این فعالیت را در جدول داده شده بنویسید. ١٢ کلسیم )گرم( ١٨ ٢٤ ١٠ شیر )لیتر( ١٥ ٢٠ دو تناسب متفاوت را با استفاده از این جدول بنویسید. آیا نسبت اندازه کلسیم به مقدار شیر از یک نوع دیگر شیر نیز همین نسبت به دست آمده در باالست پاسخ: ممکن است مساوی باشد ممکن است مساوی نباشد. چون شیر از نوعی دیگر است که باید در آزمایشگاه مورد بررسی قرار گیرد. روش تدریس فعالیت ٢. صفحۀ ٥٦ در این فعالیت کمیت هایی که متناسب هستند و همچنین کمیت هایی که متناسب نیستند در کنار هم آمده اند تا دانش آموزان به درک بهتری از کمیت های متناسب و کمیت های نامتناسب برسند. از دانش آموزان بخواهید که نخست جدول سمت چپ یعنی جدول مربوط به محیط ها را کامل کنند. با بحث کالسی کار انجام شده را بررسی و بدفهمی های احتمالی را رفع کنید. سپس از آنها بخواهید که جدول سمت راست یعنی جدول مربوط به مساحت ها را کامل کنند. کار انجام شده را کنترل کنید و بحث کالسی الزم را انجام دهید. 89

98 اندازۀ ضلع ١ اندازۀ ضلع ٢ ٥ ١٠ ١ ٢ ٥ ١٠ اندازۀ محیط ١ اندازۀ مساحت ٤ ٢٥ ١٠٠ ٤ ٨ ٢٠ ٤٠ اکنون از دانش آموزان بخواهید که بند )ب( فعالیت را انجام دهند و با بحث کالسی جدول های کتاب را کامل کنند. پس از بررسی و کنترل کار انجام شده توسط دانش آموزان و رفع اشتباه های احتمالی. اکنون از دانش آموزان بخواهید که مرحله )پ( فعالیت را انجام دهند یعنی نسبت اندازه محیط به ضلع برای هر مرب ع را در جدول محیط ها به دست آورند. این نسبت ها را تا حد امکان ساده نمایند و سپس با هم مقایسه کنند. نتیجه به دست آمده را با بحث کالسی روشن سازید. داریم: اندازه محیط : مرب ع اول = = اندازه ضلع 1 اندازه محیط : مرب ع دوم 4 4 = = اندازه ضلع 2 اندازه محیط : مرب ع سوم = = اندازه ضلع اندازه محیط : مرب ع چهارم = = اندازه ضلع با بحث کالسی روشن سازید که این نسبتها با هم برابرند یعنی: = 4 = = = به عبارت دیگر نسبت اندازه محیط هر مرب ع به اندازه ضلع آن مرب ع مقدار ثابت ٤ است یعنی انداز ه محیط هر مرب ع با اندازه ضلع آن مرب ع متناسب است. اکنون از دانش آموزان بخواهید که قسمت )پ( این فعالیت را انجام دهند. پاسخ چنین است: : مرب ع دوم اندازه مساحت اندازه ضلع = 1 = 1 1 = 4 = 2 2 : مرب ع اول اندازه مساحت اندازه ضلع = 25 = 5 5 : مرب ع چهارم اندازه مساحت اندازه ضلع : مرب ع سوم اندازه مساحت اندازه ضلع = 100 = از مقایسه این نسبت ها و با بحث کالسی دانش آموزان به این نتیجه برسند که این نسبت ها با هم مساوی نیستند زیرا ١٠ ٥ ١ ٢ است. بنابراین اندازه مساحت هر مرب ع با اندازه ضلع آن متناسب نیست.

99 کار انجام شده توسط دانش آموزان را کنترل و بدفهمی ها را برطرف سازید. در پایان این فعالیت دانش آموزان مطلب پایین صفحه را بخوانند و بار دیگر بحث متناسب بودن کمیت ها و یا متناسب نبودن کمیت ها تبیین گردد. در ضمن می توانید از دانش آموزان بخواهید که چند تناسب را با استفاده از جدول محیط ها بنویسند. به عنوان مثال: 4 = 8, 8 = 20, 4 = در ضمن سؤال کنید که آیا با استفاده از جدول مساحت ها هم می توان تناسب هایی نوشت روش تدریس کار در کالس ١. صفحۀ ٥٧ این کار در کالس و همچنین کار در کالس ٢. با هدف به کارگیری الگوها برای آموزش مفاهیم ریاضی و در اینجا مفهوم کمیت های متناسب و مفهوم کمیت های غیرمتناسب اند. از دانش آموزان بخواهید که با توجه به الگوی داده شده جدول را کامل کنند سپس به بند )الف( این کار در کالس پاسخ دهند. پاسخ داده شده می تواند چنین باشد: تعداد مثلث ها تعداد چوب کبریت ها ١ ٣ ٢ ٦ ٣ ٩ ١٠ ٣٠ ٣ تعداد چوبکبریتها ٣ برابر تعداد مثلثهاست. تعداد مثلثها 1 تعداد چوبکبریتهاست. 3 با بحث کالسی از هر دو پاسخ به این نتیجهگیری برسید که تعداد مثلثها با تعداد چوبکبریتها متناسبند. از دانشآموزان بخواهید که بند )ب( این کار در کالس را انجام دهند. پاسخ ٣٠ چوبکبریت است. پس از روشن شدن متناسببودن تعداد مثلثها و تعداد چوبکبریت ها از دانشآموزان بخواهید که بند )پ( این فعالیت را انجام دهند = 2, 1 = 3, 2 = کار انجامشده را کنترل و بدفهمیهای احتمالی را رفع کنید. روش تدریس کار در کالس 2. صفحۀ ٥٧ روش انجام این کار در کالس مانند کار در کالس ١ است. از دانشآموزان بخواهید مانند کار در کالس ١ نخست جدول دادهشده را کامل کنند.

100 کامل شده این جدول به صورت زیر خواهد بود. تعداد مرب ع ها ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ١٠ تعداد چوب کبریت ها ٤ ٧ ١٠ ١٣ ١٦ ٣١ نسبت تعداد مرب ع ها به چوب کبریت ها جدول نشان میدهد که در این کار در کالس دو کمیت دادهشده یعنی تعداد مرب عها و تعداد چوبکبریتها با هم متناسب نیستند. بنابراین با استفاده از جدول دادهشده نمیتوان تناسبی نوشت. کار انجامشده توسط دانشآموزان را کنترل و با بحث کالسی بررسی کنید و اشتباههای احتمالی را رفع و در صورت وجود راهحلهای جدید آنها را مطرح کنید. توسط کالس میتوانید یک جمعبندی هم انجام دهید. روش تدریس فعالیت ١. صفحۀ ٥٧ این فعالیت یکی از کاربردهای مهم تناسب است زیرا در آن نسبت جزء به کل یک مقدار و انداز ه کل آن مقدار را داریم و می خواهیم اندازه جزیی از آن مقدار را به دست آوریم. البته باید توجه داشته باشیم که مقدارهای داده شده در جدول متناسبند. یعنی اگر جدول را کامل کنیم تناسب های روبه رو را می توانیم بنویسیم. در این مقطع از تناسبهای )٢( و )٣( به کمک ویژگی نسبتهای مساوی میتوانیم مزد بهنام ( ) و مزد مراد ( ) را پیدا کنیم. توجه داشته باشید که از ویژگی مهم تناسب یعنی اینکه حاصلضرب طرفین با حاصلضرب وسطین در هر تناسب برابر است در این سال استفاده نمیکنیم. از دانشآموزان بخواهید که فعالیت را انجام دهند یعنی نخست جدول را کامل کنند. و سپس با و عددهای مناسب بنویسند یعنی 5 3 و = توجه به جدول در جاهای خالی = مزد کار )روز( 3 بهنام 5 مراد مجموع (1) 3 = 5 (٢) 3 = (٣) = مزد بهنام و مزد مراد را به دست آورند. کار انجام شده توسط دانش آموزان را کنترل کنید.

101 ٥٠٠٠٠ ٥٠٠٠٠٠ = = و تومان =مزد بهنام= ٥٠٠٠٠ ٥٠٠٠٠٠ پاسخ: = مزد مراد= نکته ١: پس از تعیین مزد یکی از این دو نفر مثال مزد بهنام می توان مزد مراد را با استفاده از تفریق = به دست آورد. نکته 2: ممکن است دانش آموزی راه حل زیر را انتخاب کند. یعنی از ویژگی نسبت های مساوی یا تناسب استفاده نکند. ام ا در واقع این راه حل همان راه حل استفاده از تناسب است. = ٨ ٥ + ٣ مجموع کار دو نفر = ٨ ٤٠٠٠٠٠ مزد ١ روز = ٠000 مزد بهنام مزد مراد = باید توجه داشته باشیم که به راهحلهایی غیر از راهحلهای ارائهشده در کتاب درسی توجه کنیمو خالقیت دانشآموزان را مورد توجه قرار دهیم. روش تدریس فعالیت ٢. صفحۀ ٥٨ این فعالیت شبیه فعالیت قبلی است با این تفاوت که به جای مجموع دو نسبت یا دو مقدار تفاضل آن دو مقدار داده شده است. در این جدول نیز کمیتهای داده شده متناسبند. از دانشآموزان بخواهید که فعالیت را انجام دهند یعنی نخست جدول را کامل کنند و به کمک جدول در جاهای خالی دو تناسب داده شده عددهای مناسب بنویسند و آنگاه اندازه دو زاویه خواسته شده را به کمک ویژگی نسبتهای مساوی به دست آورند. خواهیم داشت: ٥ =٢٥ زاویه بزرگتر = 2 10 ٥ ٥ = 3 15 =١٥ زاویه کوچک تر 2 10 ٥ ٥ زاویه بزرگ تر ٣ زاویه کوچک تر ٢ ١٠ اختالف دو زاویه

102 نکته: این فعالیت را مشابه فعالیت ١ نیز می توان حل کرد یعنی: سهم ١ نسبت = و تفاضل نسبت ها =2 3-5 زاویه کوچک تر 15= 5 3 زاویه بزرگ تر 25= 5 5 روش تدریس کار در کالس ١. صفحۀ ٥٨ این کار در کالس ها همگی کاربرد مفهوم تناسب در درون ریاضی است. در کار در کالس ١ باید در هر قسمت در جاهای خالی عدد مناسب بنویسیم تا یک تناسب به دست آید. روشن است که چون خاصیت طرفین وسطین در تناسب گفته نشده است برای یافتن پاسخ باید از ویژگی نسبت های مساوی استفاده کنیم. از دانش آموزان بخواهید که فعالیت ١ را با توجه به نمونه انجام دهند. کار انجام شده توسط آنها را با بحث کالسی بررسی کنید و موارد اشتباه های احتمالی را برطرف سازید = = = = پاسخ: = =, = 354, = = 7 65 = روش تدریس کار در کالس 2. صفحۀ ٥٨ از دانش آموزان بخواهید کار در کالس ٢ را انجام دهند. سپس کار انجام شده توسط آنها را با بحث کالسی بررسی و اشتباه های پیش آمده را رفع کنید. با توجه به داده ها روش حل زیر را ببینید. 36= زاویه کوچک تر = =

103 روش تدریس کار در کالس ٣. صفحۀ ٥٨ در این کار در کالس نسبت دو مقدار )طول و عرض مستطیل( داده شده است. و همچنین مجموع این دو مقدار نیز قابل محاسبه است. نخست درباره چگونگی محاسبه محیط مستطیل از دانشآموزان سؤال کنید تا برای آنها روشن گردد که محیط مستطیل مساوی دو برابر مجموع اندازههای یک طول و یک عرض آن است. پس نصف محیط مستطیل مساوی مجموع اندازههای یک طول و یک عرض آن است. یعنی داریم: ١٢٠= ٢ ٢٤٠ پس شبیه فعالیت ١ صفحه 57 جدول زیر را داریم: اندازه طول 5 =٧٥ اندازه طول مستطیل = = ٥ طول اندازه عرض 3 = 3 45 اندازه عرض مستطیل = =4٥ ٣ عرض ٨ ١٢٠ مجموع و از آنجا مساحت مستطیل برابر است با: = = اندازه عرض اندازه طول = مساحت مستطیل از دانش آموزان بخواهید کار در کالس را انجام دهند. کار آنها را با بحث کالسی کنترل کنید و اشتباه های احتمالی را رفع کنید. 95

104 حل تمرین های درس 3. تناسب. صفحه های 58 و 59 ١ آیا مقدارهای دادهشده در هر قسمت متناسباند اگر متناسباند تناسب مربوط به آنها را بنویسید. 12 = 4 الف( ١٢ کیلو آرد و ٣ کیلو شکر = )الف ٧٢ کیلو آرد و ١٨ کیلو شکر 72 = ب( ٣٢٠ متر در مد ت ٨ دقیقه 180 متر در مد ت ٦ دقیقه دو نسبت مساوی نیستند پ( ٢ معل م برای ٢٤ دانشآموز ٦ معل م برای ٧٢ دانش آموز 320 = = = = = )ب )پ ٢ در هر قسمت در جاهای خالی عددهای مناسب بنویسید تا یک تناسب به دست آید. ٤ = = = = = = 36 4 ٤ ٣ هواپیمایی ١٢٠٠ کیلومتر را در مد ت ١ ساعت و ٣٠ دقیقه طی می کند.این هواپیما با همین سرعت در ٢ ساعت چند کیلومتر را طی می کند 96

105 ٤ پاسخ: ١ ساعت و 30 دقیقه برحسب دقیقه ٩٠=٣٠+٦٠ 1 ساعت برحسب دقیقه ٦٠=٦٠ ١ = = 2 ساعت برحسب دقیقه = 120 ٢ ٦٠ ٤ 1600 کیلومتر را در ٢ ساعت می پیماید. 4 برای تهیه شیر چای شیر و چای را به نسبت ٣ به ٥ مخلوط می کنیم. الف( اگر ١٢ لیوان شیر داشته باشیم چند لیوان چای الزم داریم ب( اگر ١٥ لیوان چای داشته باشیم چند لیوان شیر الزم داریم پاسخ: 20 لیوان چای ٩ لیوان شیر = = )الف = = )ب ٥ برای ساختن یک نوع ب ت ن ٧ پیمانه ماسه را با ٢ پیمانه سیمان مخلوط می کنند. الف( نسبت اندازه ماسه به اندازه مخلوط چقدر است ب( در ١٨٩ پیمانه از این مخلوط چند پیمانه ماسه و چند پیمانه سیمان وجود دارد 97 ماسه مخلوط 7+ 2= 9 = = = = پیمانه ماسه = 147 پاسخ: الف( ب( این جدول را داریم. ماسه ٧ سیمان ٢ مخلوط ٩ ١٨٩ پیمانه سیمان

106 6 زهره ١٢ کتاب بیشتر از نسرین دارد. اگر نسبت کتاب های زهره به کتاب های نسرین ٥ به ٣ باشد زهره و نسرین هرکدام چند کتاب دارند راهنمایی: به اختالف نسبت ها توج ه کنید و سپس از تناسب استفاده کنید. پاسخ: با توجه به داده ها جدول روبه رو را داریم: زهره ٥ نسرین ٣ اختالف ٢ ١٢ از آنجا تناسبهای زیر را خواهیم داشت: = = زهره ٣٠ کتاب دارد ١٨ نسرین ١٨ کتاب دارد = = ٧ با استفاده از جدول روبه رو مسئله ای درباره تناسب بنویسید و آن را حل کنید ? پاسخ: برای رنگ آمیزی ٢ مترمرب ع دیوار یک اطاق ٧ قوطی رنگ مصرف شده است. برای رنگ آمیزی 6 مترمرب ع آن اطاق چند قوطی رنگ الزم است 3 21 قوطی رنگ 2 6 =

107 توصیه های آموزشی ١ در این مقطع از عددهای اعشاری و عددهای مخلوط برای نمایش کمیت های متناسب و نامتناسب و تناسب استفاده نکنید. ٢ اجزای تناسب را نامگذاری نکنید )طرفین و وسطین( و این ویژگی اصلی تناسب را که در هر تناسب حاصل ضرب طرفین مساوی حاصل ضرب وسطین است مطرح نکنید. ٣ در حل مسئله های مرتبط با تناسب از طرفین وسطین کردن استفاده نکنید. بلکه از ویژگی نسبت های مساوی استفاده کنید. 4 در این مقطع تنها کمیت هایی را مطرح کنید که به طور مستقیم متناسب اند یعنی با زیاد شدن یک کمیت کمیت دیگر هم زیاد می شود و با کم شدن یک کمیت کمیت دیگر هم کم می شود. کمیت هایی که به طور معکوس متناسب اند در سال های بعد خواهند آمد مانند مدت انجام یک کار و تعداد کارگر که با هم معکوسا متناسب اند. در این کمیت ها با زیاد شدن یک کمیت کمیت دیگر کم می شود و با کم شدن یک کمیت کمیت دیگر زیاد می شود. مثال اگر ٢ کارگر کاری را در مدت ٦ روز انجام دهند ٦ کارگر همان کار را در مدت ٢ روز انجام می دهند. 99

108 روش تدریس درس 4 : درصد. صفحه های 60 تا 63 اهداف ١ فهمیدن مفهوم درصد ٢ فهم ارتباط مفهوم درصد با مفاهیم مرتبط مانند نسبت و ٣ استفاده از درصد برای حل مسئلهها در درون ریاضی و ریاضی و علوم دیگر ٤ توجه به اهمیت محیط زیست تولید مصرف امور فرهنگی اجتماعی کتابخانه ابزارهای مورد نیاز : ١ تصویرهای مربوط به درصد مانند تصاویری از درصد حراج فروشگاهها درصد افزایش یا کاهش درجۀ حرارت هوا میزان بارندگی میزان تولید یا مصرف در زمینههای مختلف محیط زیست کشاورزی صنعت بازرگانی روزنامهها و مجالتی که در آنها مفهوم درصد آمده است. ٢ تصویرهایی برای محاسبه درصدی از یک کمیت مانند محاسبۀ درصد جنگل در استانهای کشور با داشتن مساحت آن استان و مساحت جنگل موجود در آن استان. همچنین محاسبۀ درصد افزایش یا کاهش میزان تولید و میزان مصرف در زمینههای مختلف کشاورزی صنعتی و افزایش یا کاهش قیمت اجناس. ٣ جدولهایی که اندازۀ مواد تشکیلدهنده در یک مقدار از یک ماد ه مانند شیر گندم سیب سرکه و را نشان میدهد برای محاسبۀ درصد و مسائل مربوط به درصد. ٤ سایتهای ریاضی که مطالب مرتبط با درصد دارند. 100

109 روش تدریس درس ٤. درصد. صفحۀ 60 در ابتدای این درس پیش سازمان دهنده ای برای ایجاد انگیزه یادگیری مفهوم درصد آورده شده است. خواندن کلمه درصد در روزنامه ها و کتاب ها شنیدن نام درصد در اخبار رادیو و تلویزیون. درصد در زمینه های بسیاری از زندگی ما مطرح است. از جمله در مسائل مربوط به محیط زیست آبیاری و کشاورزی صنعت بازرگانی و. یکی از مواردی که با درصد سر و کار دارد حراج هایی است که فروشگاه ها و مغازه دارها انجام می دهند و میزان تخفیف در فروش کاال یا درصد )مانند %٣٠ %٥٠ %٧٠( روی ویترین مغازه خود اعالم می کنند شما می توانید از این پیش سازمان دهنده هم برای ایجاد انگیزه در یادگیری مفهوم نسبت استفاده کنید. تصویر داده شده در کتاب تابلویی است که میزان آالینده ها و درصد آنها در حالت های مختلف را نشان می دهد. با استفاده از این تابلو می توان دید که میزان هر آالینده چند درصد حد مجاز است و کدام آالینده در حد مجاز برای سالمتی انسان هاست. روش تدریس فعالیت ١. صفحۀ 60 این فعالیت برای آموزش مفهوم درصد می باشد. این فعالیتی ملموس است و در هر مدرسه ای قابل تعریف است. تنها باید توجه کنیم که نسبت مورد محاسبه قابل تبدیل به نسبتی با مخرج 100 باشد زیرا درصد برای عددهای اعشاری در سال پنجم مورد نظر نیست. از دانش آموزان بخواهید که این فعالیت را مرحله به مرحله انجام دهند. پس از انجام هر مرحله با بحث کالسی پاسخ درست را تبیین کنید و اشتباه های احتمالی را برطرف سازید. مرحلۀ )الف(: نسبت خواسته شده. 101 ٦ مرحلۀ )ب(: از ویژگی نسبت های مساوی استفاده می کنیم. = = 4 24 تعداد دانشآموزان سال پنجم تعداد دانشآموزان مدرسه ٦ ٤ = = ٤

110 100 مرحلۀ )پ(: از هر 100 دانشآموز مدرسه ١٦ نفر دانشآموز سال پنجم هستند. با تأکید بر اینکه نسبت 16 نشان میدهد که از هر ١٠٠ نفر دانشآموز این مدرسه ١٦ نفر دانشآموز سال پنجم هستند نحوه خواندن و نوشتن به صورت ١٦ درصد و %١٦ را با بحث کالسی تبیین کنید. روش تدریس فعالیت ٢. صفحۀ 61 این فعالیت برای محاسبه درصدی از یک کمیت می باشد. از دانش آموزان بخواهید که مرحله به مرحله این فعالیت را انجام دهند. پس از پایان هر مرحله کار انجام شده را با بحث کالسی مورد بررسی قرار دهید و اشتباه های احتمالی را برطرف سازید = 2 = : قو مرحلۀ )الف(: % 5 = = = :اردک % مرحلۀ )ب(: پرندگانی که بازگشتهاند. ٩٥% = ٥% - % 100 :اردک ٩8% = 2% - :100% قو = است در این روش دانش آموزان باید بدانند که کل یک مقدار % این مرحله را دانش آموزان به روش زیر می توانند حل کنند = = قوهایی که برگشتهاند = 9800 : قو % = = = اردکهایی که بازگشتهاند = : اردک % = تعداد کل پرندگانی که آمدهاند مرحلۀ )پ(: = تعداد پرندگانی که ماندهاند درصد پرندگانی که ماندهاند تعداد پرندگانی که ماندهاند = 4 % = = = تعداد کل پرندگانی که آمدهاند نکته: مشابه این فعالیت را در صورت لزوم می توانید با تعداد بیشتری پرنده طراحی کنید.

111 روش تدریس کار در کالس ١. صفحۀ ٦١ این کار در کالس برای تثبیت مفهوم درصد و مهارت شمارش ارائه شده است. از دانش آموزان بخواهید که این فعالیت را انجام دهند. کار انجام شده توسط دانش آموزان را کنترل و اشتباه های احتمالی را رفع کنید. = = مساحت قسمت رنگشده مساحت کل مستطیل پاسخ ها: )الف( )ب(: = = )پ(: داریم: % )ت(: به روش های مختلف می توان به این سؤال پاسخ داد: روش اول: % 20 = = 160 = = روش دوم: 80% = 20% - 100% از جدول های داده شده برای پاسخ می توان استفاده کرد. ٢ = = ٢ ٢ = = % 80% مساحت قسمت رنگی ٤٠ مساحت کل مستطیل ٢٠٠ ١٠٠ مساحت قسمت رنگ نشده ١٦٠ مساحت کل مستطیل ٢٠٠ ١٠٠ 103 ٢ روش تدریس کار در کالس ٢. صفحۀ ٦٢ این دو کار در کالس برای تثبیت و تعمیق مفهوم درصد است. پاسخ ها: %٣ شیر چربی است: یعنی از هر ١٠٠ گرم شیر ٣ گرم چربی است. از هر ١٠٠ کیلوگرم شیر ٣ کیلوگرم چربی است. از هر ١٠٠ لیتر شیر ٣ لیتر چربی است.

112 روش تدریس کار در کالس ٣. صفحۀ ٦٢ 10% تخفیف یعنی: از هر ١٠٠ تومان ١٠ تومان گرفته نمیشود و ٩٠ تومان گرفته میشود. پس برای ٢٠٠ تومان ٢٠ تومان گرفته نمیشود و ١٨٠ تومان گرفته میشود. برای تومان ١٠٠٠٠ تومان گرفته نمیشود و تومان گرفته میشود. روش تدریس فعالیت ١. صفحۀ ٦٢ در این فعالیت کل کمیت داده شده و درصد نیز مشخص است میخواهیم جزیی از آن کمیت a c با معلوم بودن b و c میخواهیم اندازه a را بهدست آوریم( b = % c = 100 را پیدا کنیم. )در رابطه با نگاهی دیگر این فعالیت کاربردی از مفهوم درصد است. پاسخهای مراحل )الف( و )ب( چنین است: مساحت جنگل مساحت جنگل =16 % = = = ٢000 مساحت جنگل 4 کیلومترمرب ع = ٨٠0٠ مساحت جنگل = )الف ٢ پس مساحت جنگل در این استان 8000 کیلومترمرب ع است. 500 مساحت زمینهای کشاورزی 42 مساحت زمینهای کشاورزی = = = % 42 )ب 500 کیلومترمرب ع 21000= مساحت زمین های کشاورزی از دانش آموزان بخواهید که فعالیت را مرحله به مرحله انجام دهند. کار انجام شده را با بحث کالسی بررسی کنید و بد فهمی های احتمالی را برطرف سازید. در بحث کالسی درباره اهمیت جنگل و زمین های قابل کشاورزی برای انسان ها و روش های حفظ و حراست از این نعمت های خدادادی تأکید گردد. روش تدریس فعالیت ٢. صفحۀ ٦٢ این فعالیت کاربردی مربوط به دروس ریاضی از درصد است که به تثبیت و تعمیق مفهوم درصد نیز کمک می کند ضمن آنکه مشوق انجام کارهای خیر و صفاتی نیکو مانند پس انداز کردن است که ضمن انجام مراحل فعالیت باید نگرش فکری و توجه دانش آموزان را برای انجام این کارها تقویت کند.

113 پاسخ: مراحل این فعالیت: ریال ٣٠٠٠٠٠= سهم مؤسسه خیریه ریال = 50٠٠٠ سهم قلک = = = 60% )الف( = = = 10% )ب( سهم مؤسسه خیریه و خرید کتاب و سهم قلک = پولی که برایش مانده است. ریال = ٥٠٠٠٠ درصدی از پول که برایش مانده است. % = = = = از دانش آموزان بخواهید که مراحل فعالیت را مرحله به مرحله انجام دهند. پس از انجام هر مرحله کار انجام شده توسط دانش آموزان را با بحث کالسی بررسی کنید و بد فهمی های احتمالی را رفع کنید. در صورتی که راه خالقانه ای هم وجود داشته باشد ارائه شود. روش تدریس فعالیت ٣. صفحۀ ٦٢ این فعالیت کاربردی برای تعیین درصدی از یک کمیت است. درضمن جلب توجه دانش آموزان به اهمیت وجود کتابخانه در مدرسه و خرید کتاب است. ریال = تخفیف مدرسه اول ریال = تخفیف مدرسه دوم % = = = % = = = ریال = پولی که کتابفروشی اولی باید بدهد ریال = پولی که کتابفروشی دومی باید بدهد

114 از دانشآموزان بخواهید که مراحل فعالیت را به ترتیب انجام دهند. پس از پایان انجام هر مرحله از فعالیت کار آنها را کنترل کنید و اشتباههای احتمالی را رفع کنید. همانطوری که گفته شد با بحث کالسی اهمیت کتاب و کتابخوانی و داشتن کتابخانه در مدرسه مورد تأکید قرار گیرد. روش تدریس فعالیت 4. صفحۀ ٦٢ این فعالیت یک کاربرد مهم از درصد است. در این کاربرد جزیی از یک کمیت و درصد مربوط به آن داده شده است و میخواهیم کل کمیت را بهدست آوریم )رابطه % c c a b = یا a 100 b = مقدارهای a و c را داریم و می خواهیم مقدار b را پیدا کنیم(. در این فعالیت جلب توجه دانش آموزان به چگونگی تولید بنزین و لزوم بهینه سازی مصرف سوخت نیز مورد نظر می باشد. با توجه به راهنمایی که در کتاب آمده است پاسخ این فعالیت چنین است: % = =, = = ,, ,000,000 لیتر نفت باید تصفیه شود. از دانشآموزان بخواهید که این فعالیت را انجام دهند. کار انجامشده را کنترل و با بحث کالسی اشتباههای احتمالی را رفع کنید و راهحلهای خالقانه را مطرح کنید. در ضمن به این نکته توجه دانشآموزان را جلب کنید که با بهینهسازی مصرف سوخت و کمکردن آن میتوان به ذخایر نفتی کشورمان کمک کرد. این سؤال را نیز میتوانید طرح کنید که اگر %٢٠ در مصرف سوخت صرفهجویی شود چه میزان نفت کمتر باید تصفیه شود. روش تدریس کار در کالس ١. صفحۀ 63 این کار در کالس برای تعیین کل یک کمیت با داشتن جزیی از آن کمیت و درصد مربوط به این جزء است: برای عدد اولی داریم: =6٠٠ عدد اولی = = 240 = ٤٠%

115 برای عدد دومی داریم: ام ا نسبت دو عدد به دست آمده: =٤٠٠ عدد دومی = = 280 = ٧٠% عدد دومی عدد اولی = = = ٤ ٤ = = = عدد اولی عدد دومی از دانش آموزان بخواهید که این فعالیت را انجام دهند. کار انجام شده را کنترل کنید و بدفهمی های احتمالی را رفع کنید. راه حل جدیدی هم اگر وجود داشت توسط دانش آموزان ارائه گردد. در این فعالیت رابطه بین درصد و نسبت نیز مورد نظر بوده است. روش تدریس کار در کالس ٢. صفحۀ ٦3 هدف این فعالیت تعیین درصدی از یک کمی ت است ام ا در ضمن می خواهد توجه دانش آموزان را به ارتباط بین درصد و نسبت جلب کند. بنابراین نخست باید نسبت فضای سبز به مساحت محاسبه و سپس درصد مربوط به آن را تعیین کنند. = 3, 3 = 3 = 12 = 12 % مساحت فضای سبز مساحت شهر از دانش آموزان بخواهید که این فعالیت را انجام دهند. کار انجام شده را کنترل و با بحث کالسی مورد بررسی قرار دهید و بدفهمی های احتمالی را رفع نمایید. می توانید این سؤال را نیز مطرح کنید که چند درصد مساحت این شهر فضای سبز نیست پاسخ: % 88 روش تدریس کار در کالس 3. صفحۀ ٦3 این کار در کالس یک کار در کالس باز پاسخ است که هدف آن انجام مراحل مختلف ساخت مفهوم نسبت و سپس مفهوم درصد توسط خود دانش آموزان است. هدف دیگر برانگیختن خالقیت آنها در چگونگی رنگ آمیزی خانه های جدول است. در ضمن برای آنکه درصد محاسبه شده توسط هریک از دانش آموزان عددی اعشاری یا مخلوط نباشد مربع داده شده به ١٠٠ مربع کوچک تقسیم

116 شده است. پس اگر دانش آموزی ٢٣ مرب ع را رنگ آمیزی کرده باشد %٢٣ مرب ع را رنگ آمیزی کرده است. همان طوری که در متن فعالیت گفته شد دانش آموزان می توانند برای رنگ آمیزی هر شکلی مثال یک گل یک گلدان یک پرنده یک شکل هندسی یک کلمه دلخواه نام خودشان و یا هر چیز دیگری را انتخاب کنند. از دانش آموزان بخواهید که فعالیت را انجام دهند. کار انجام شده را کنترل و بدفهمی های احتمالی را برطرف سازید. کار انجام شده توسط هر گروه را توسط خودشان در کالس مطرح کنید. و تفاوت درصدهای به دست آمده را توجیه کنید. 108

117 حل تمرین های درس : 4 درصد. صفحۀ 63 ١ نادر برای رسیدن به مدرسه باید 800 متر راه برود. او ٢٠٠ متر از این راه را پیموده است. نادر چند درصد از این راه را پیموده است چند درصد از این راه باقی مانده است = = = = 25 % درصد باقیمانده 75% = 25% - 100% 25 ٢ چند درصد از شکلهای زیر رنگ شده است * = = 25 % = = = 25 % = = % 4 = 1 = 50 = 50% ٣ درصدهای زیر را به صورت کسر بنویسید و تا حد امکان ساده کنید % = = 100% = = 1 = % 80% = = % = = 38% = = 45% = = ٤ %٩٠ از جرم هر هندوانه را آب تشکیل می دهد. یک هندوانه به جرم ١٠ کیلوگرم چند کیلوگرم آب دارد = = = = 9 0 مقدار آب برحسب کیلوگرم %

118 5 یک خانواده در یک شبانه روز 5 مترمکع ب آب مصرف می کند. اگر این خانواده %٢٠ در مصرف آب هر شبانه روز صرفه جویی کند در یک ماه چند مترمکع ب آب صرفه جویی خواهد کرد = = = پاسخ: 1 ١ مترمکع ب صرفه جویی در هر شبانه روز % *1 صرفه جویی در ١ ماه مترمکع ب 0= ٣٠ 3 ١ 6 اگر % 24 یک عدد 6 باشد آن عدد چند است پاسخ: ٤ = 6 = = = ٢٥ عدد % ٤ ٧ %٤٠ گنجایش یک منبع آب 8000 لیتر است. گنجایش این منبع چند لیتر است پاسخ: * = 8000 = داریم: گنجایش منبع لیتر % *200 8 مستطیل داده شده %٢٥ یک مستطیل است. این مستطیل را کامل کنید پاسخ: مستطیل داده شده = = 25% مستطیل داده شده است پس این مستطیل را به اندازه ٣ برابر خود باید ادامه دهیم. 110

119 ٩ %٧٠ دانشآموزان یک کالس ١٤ نفر است. تعداد دانشآموزان این کالس چند نفر است ٥ نفر چند درصد از دانشآموزان این کالس است پاسخ: 5 توصیه های آموزشی = 14 = تعداد شاگردان کالس ٢٠ نفر % 5 * = = = 25% *5 1 در کارکردن با درصد از عددهای اعشاری و عددهای مخلوط در این مقطع استفاده نکنید. ٢ در این مقطع درصدهایی مطرح میشوند که از %١٠٠ کمتر و یا حداکثر مساوی %١٠٠ میباشند پس از مطرحکردن درصدهای بیشتر از %١٠٠ خودداری کنید. توجه داشته باشید که درصدهایی نظیر نسبتهای کمتر از ١ مساوی ١ و بزرگتر از ١ بهترتیب کمتر از %١٠٠ مساوی %١٠٠ و بیشتر از %١٠٠ هستند. 3 مثال: % 75 = 100% 1 3 = 150 % = 2 4 a c باشد با معلومبودن دو مقدار از سه مقدار b a و c میتوان ٣ اگر c% a = یا = b 100 b مقدار سوم را بهدست آورد. )در این مقطع به کمک نسبتهای مساوی یا تناسب(. ٤ توجه دانشآموزان را به کاربردهای مختلف درصد در زمینههای مختلف جلب کنید و از آنها بخواهید که مسئلههایی را در ارتباط با درصد در این زمینهها طرح و حل کنند و خالقیت آنها را برانگیزانید. ٥ از سایتهای ریاضی که در آنها مطالب مربوط به درصد فراوان است برای آموزش مفهوم درصد استفاده کنید. 111

120 پاسخ فرهنگ نوشتن و حل تمرین های صفحه های ٦٤ و ٦٥ فرهنگ نوشتن ١ نسبت بین دو مقدار یعنی: اینکه یک مقدار چند برابر مقدار دیگر است خارج قسمت تقسیم آن دو مقدار است مقایسه دو مقدار به وسیله عمل تقسیم است. ٢ سرعت یک اتومبیل ٦٠ کیلومتر در ساعت است یعنی: اتومبیل در هر ١ ساعت ٦٠ کیلومتر طی میکند. ٣ توضیح دهید که چگونه مقدار مناسب برای این جای خالی را پیدا میکنید. 2 2 در ٣ ضرب = دو نسبت مساویاند. چون ٩ سه برابر ٣ است پس مخرج نسبت شده است. بنابراین صورت آن هم باید در ٣ ضرب شود یعنی در جای خالی باید ٦=٣ ٢ نوشت. 6 ٤ در هر مرب ع اندازه ضلع و اندازه محیط متناسباند یعنی: نسبت ضلع به محیط هر مرب ع مقدار ثابتی است. ٥ پیمودن ٥٠٠ متر در ٦ دقیقه با پیمودن ٢٥٠ متر در ٤ دقیقه متناسب نیست چرا است که با هم مساوی نیستند = زیرا = و 6 3 ٦ %٦٠ دانش آموزان یک مدرسه به ورزش فوتبال عالقمندند یعنی: از هر ١٠٠ دانش آموز این مدرسه ٦٠ نفر به ورزش فوتبال عالقمندند. 112

121 پاسخ تمرین های مرور فصل صفحه های 64 و 65 ١ با توج ه به شکل داده شده: الف( نسبت تعداد مرب ع ها با هریک از رنگ های داده شده را به تعداد مرب ع ها با رنگ های دیگر تعیین کنید. تعداد مرب عها به رنگ آبی تعداد مرب عها به رنگ زرد نمونه: = 3 4 = 3 4 تعداد مرب عها به رنگ قرمز تعداد مرب عها به رنگ زرد زرد قرمز آبی قرمز = 4, = 3 = قرمز آبی زرد آبی = 3 = 1, = تعیین کنید. ب( نسبت تعداد مرب ع ها با هریک از رنگ های داده شده به تعداد کل مرب ع ها را تعیین کنید. تعداد مرب ع ها به رنگ آبی نمونه: = 3 10 تعداد کل مرب ع ها 113 = = = 10 5 تعداد مرب ع ها به رنگ قرمز تعداد کل مرب ع ها تعداد مرب ع ها به رنگ زرد تعداد کل مرب ع ها 2 الک پشتی ٢٨٠ متر را در ٤ ساعت می پیماید. الف( نسبت مسافتی را که این الک پشت پیموده است به مد ت زمان صرف شده توسط الک پشت ب( این الک پشت در ١ ساعت چند متر راه می رود = = 4 متر 70

122 18 3 = 12 2 ١) = 40 2 ٣ با توجه به شکل نسبت تعداد گل های بنفش به تعداد گل های قرمز کدام است ٢) 6 8 ٣) 4 3 ٤) پاسخ: ٥) هر یک از نسبت های زیر را ساده کنید = = = = تساوی مربوط به نسبت های مساوی را بنویسید. ٥ کدام یک از نسبتهای زیر با نسبت 4 مساوی است 5 )١ ٢٨ به )٢ ٣٥ ٢٤ به )٣ ٣٢ ٤٨ به )٤ ٦٠ ١٦ به ٢٤ پاسخ: این نسبت ها را به دست می آوریم: 16 2 = = = = می باشند. دو نسبت ٢٨ به ٣٥ و ٤٨ به ٦٠ مساوی ٦ یک نسبت مساوی نسبت 7 5 بنویسید که: = = = الف( صورت آن ٤٢ باشد. ب( مخرج آن ٣٥ باشد = = =

123 ٧ در جاهای خالی عددهای مناسب بنویسید تا نسبت های مساوی به دست آید = = = = = = ٨ پریا برای رسیدن به مدرسه 640 متر را در ٨ دقیقه می پیماید. صدف برای رسیدن به مدرسه 1080 متر را در ١٨ دقیقه می پیماید. آیا مسافت هایی را که این دو نفر پیموده اند با مد ت زمان صرف شده توسط این دو نفر متناسب است = , = خیر متناسب نیستند. ٩ نسبت های زیر داده شده اند: 8 4 ١), ٢), ٣), الف( نسبت های داده شده در هر قسمت را تا حد امکان ساده کنید. 1( 4 2 = = ( = = ( 28 7 = = 18 3 ب( در کدام یک از این قسمت ها نسبت ها تشکیل یک تناسب می دهند این تناسب ها را بنویسید ( = ( = ١٠ در جای خالی در هر قسمت عددی مناسب بنویسید تا یک تناسب به دست آید ٤ = = = = = = ٤ 3 115

124 ١١ یک قطار ٣٢٠ کیلومتر را در ٤ ساعت می پیماید. این قطار با همین سرعت: الف( ٨٠٠ کیلومتر را در چند ساعت می پیماید در 10 ساعت ب( در ١٢ ساعت چند کیلومتر را می پیماید = = = = = کیلومتر ١٢ خانواده خسرو در هر شبانه روز ٨ لیتر آب کمتر از خانواده فرهاد مصرف می کنند. اگر نسبت مصرف آب این دو خانواده در یک شبانه روز ٣ به ٥ باشد هرکدام در یک شبانه روز چقدر آب مصرف می کنند ٣ خانواده خسرو ٥ خانواده فرهاد 3 = = 12 لیتر = لیتر = ١٣ از ٨٠ کتابی که در یک قفسه کتابخانه قرار دارند ٢٠ کتاب ریاضی است. چند درصد از کتاب های این قفسه کتاب ریاضی است ٢٥ = = = 25% ٢٥ ٢ ٨ اختالف مصرف 116

125 ١٤ اگر %٦٠ از یک محلول آب باشد در ٢٥ لیتر از این محلول چند لیتر آب وجود دارد ٤ = = ١٥ لیتر آب وجود دارد % ٤ ١٥ %٨٠ یک عدد ٢٠ است. آن عدد را تعیین کنید. ٤ = = آن عدد % ٤ پاسخ معم ا و سرگرمی صفحه 66 30% از 10% کشت دیم محصول گندم است. پس داریم: = = = 3 % یعنی 3% از کشت دیم گندم است. 117

126 نمونه سؤالهایی برای ارزشیابی نسبت نخست سؤال های مرتبط با دو مقدار و سپس سؤال های مرتبط با سه مقدار یا بیشتر را مطرح کنید. در برخی از این سؤال ها واحدها یکی باشند مانند دو طول دو وزن و در برخی دیگر از سؤال ها واحدها متفاوت باشند مانند طول و زمان و به نمونه هایی از سؤال های مربوط به نسبت توجه کنید. ١ الف( نسبت تعداد مثلث های داده شده با هر رنگ را به تعداد مثلث های داده شده با رنگ های دیگر تعیین کنید. ب( نسبت تعداد مثلث های داده شده با هر رنگ را به تعداد کل مثلث های داده شده تعیین کنید. پ( تعداد کل مثلث های داده شده را به تعداد مثلث های با هر رنگ تعیین کنید ٣ برای ساختن رنگ سه رنگ آبی زرد و سبز را طبق جدول زیر باهم مخلوط کرده ایم. سفید زرد ٤ ٢ ٢ با توجه به شکل نسبت اندازه های هردو پاره خط را به دست آورید. آبی ٤ آ ب پ رنگ قوطی های هم اندازه الف( نسبت اندازه هر رنگ به اندازه رنگ های دیگر را تعیین کنید. ب( نسبت اندازه هر رنگ به کل رنگ ساخته شده را تعیین کنید. ٤ شکل روبه رو به قسمت های مساوی تقسیم شده است. الف( نسبت مساحت قسمت رنگ شده به مساحت قسمت رنگ نشده را تعیین کنید. ب( نسبت مساحت قسمت رنگ نشده به مساحت کل شکل را تعیین کنید. پ( نسبت مساحت کل شکل به مساحت هریک از دو قسمت رنگ شده و رنگ نشده را بیابید.

127 ٥ با توجه به شکل داده شده: الف( نسبت تعداد شمع های روشن به تعداد شمع های خاموش را تعیین کنید. ب( نسبت تعداد شمع های خاموش به تعداد کل شمع ها را بیابید. ت( نسبت تعداد کل شمع ها به تعداد شمع های روشن را بیابید. ٦ اتومبیلی ٢٤٠ کیلومتر را در مدت ٣ ساعت پیموده است. الف( نسبت مسافت پیموده شده به مدت زمان صرف شده توسط این اتومبیل را تعیین کنید. ب( این اتومبیل در ١ ساعت چند کیلومتر را پیموده است ٧ نادر یک مسافت را در مدت زمان ١ ساعت و ١٢ دقیقه و مهرداد همان مسافت را در مدت زمان ٤٨ دقیقه پیموده است. نسبت مدت زمان صرف شده توسط این دو نفر را پیدا کنید. ٨ نسبت تعداد دایره ها به تعداد مثلث ها در شکل داده شده کدام است 3 )٤ 4 )٣ 5 )٢ 6 )١ تن ۵ ٤ ٩ نمودار روبه رو میزان تولید چند نوع میوه در یک باغ میوه را نشان می دهد. الف( نسبت میزان تولید هر نوع میوه به میزان تولید میوه های دیگر را تعیین کنید. ب( نسبت میزان تولید هر نوع میوه به میزان کل تولید میوه در این باغ را تعیین کنید. انار گالبی آلو سیب هلو 119

128 ١٠ به مثلث داده شده توجه کنید و: الف( اندازه محیط این مثلث را تعیین کنید. ب( نسبت اندازه هریک از ضلعهای این مثلث به اندازه محیط مثلث را بیابید. ١١ مستطیل داده شده را با رسم دو پارهخط به چهار قسمت مساوی تقسیم کنید و یک قسمت از این چهار قسمت را رنگ کنید. آنگاه: پ آ 30 2۸ 32 الف( نسبت مساحت قسمت رنگ شده به مساحت کل مستطیل را تعیین کنید. ب( نسبت مساحت مستطیل به مساحت قسمت رنگ نشده را بیابید. ١٢ الف( چند دایره به دلخواه رسم کنید. ب( چند دایره از آنها را به دلخواه رنگ کنید. پ( نسبت تعداد دایره های رنگ شده به تعداد کل دایره ها را تعیین کنید. ت( نسبت تعداد دایره های رنگ نشده به تعداد کل دایره ها را بنویسید. توجه: این فعالیت یک فعالیت باز پاسخ است. به حالت های خاصی هم که ممکن است پیش آید توجه کنید. به عنوان مثال هیچ دایره ای رسم نکنید. یا همه دایره ها را رنگ کنید یا هیچ دایره ای را رنگ نکنید. نسبتهای مساوی ١٣ نشان دهید که دو نسبت 12 و با هم مساوی اند. ١٤ جدول داده شده مقدار تولید چند نوع میوه در دو باغ میوه را برحسب کیلوگرم نشان می دهد. ب زردآلو گیالس آلبالو آلو هلو گالبی سیب نوع میوه باغ ٨٠٠ مهرداد ٦٠٠ ٣٠٠ ٤٥٠ ٢٠٠ ٤٠٠ ٢٤٠ ١٢٠٠ ناصر ٩٠٠ ٢٥٠ ٢٥٠ ٣٠٠ ٥٠٠ ٣٦٠ الف( نسبت مقدار تولید هریک از این میوه ها در باغ مهرداد را به مقدار تولید همان میوه در باغ ناصر تعیین کنید و این نسبت ها را به ساده ترین صورت ممکن تبدیل کنید. ب( در صورت وجود نسبت های مساوی تساوی مربوط به آنها را بنویسید. 120

129 ١٥ هر یک از نسبت های داده شده زیر را ساده کنید و تساوی مربوط به نسبت های مساوی را بنویسید )٧ )٦ )٥ )٤ 3 7 )٣ 6 5 )٢ 18 8 )١ ١٦ نسبت دو مقدار 3 است. اگر مقدار بزرگتر ١٨ باشد مقدار کوچکتر را بیابید. 2 ١٧ به کمک رسم شکل یک نسبت مساوی نسبت 3 بنویسید که مخرج آن ١٦ باشد. 4 ١٨ یک نسبت مساوی نسبت 5 بنویسید که: 3 الف( صورت آن ٤٠ باشد. ب( مخرج آن ٣٠ باشد. ١٩ در هر قسمت در جاهای خالی عددهای مناسب بنویسید تا نسبتهای مساوی بهدست آیند. 16 = 4 16 = = = 9 18 ٢٠ نسبتهای داده شده زیر را محاسبه کنید و تساوی مربوط به نسبتهای مساوی را بنویسید. )٥ ٣٦ به ٤٨ )٤ ٢٠ به ١٦ )٣ ١٠ به ٨ )٢ ٦ به ٨ )١ ٢٤ به ٣٢ ٢١ کدام نسبتهای داده شده در هر قسمت با هم مساویاند تساوی مربوط به آنها را بنویسید. ٢٤ توپ برای ١٦ نفر الف( ٨ توپ برای ١٢ نفر ٢٧ گل برای ٢٧ پروانه ب( ٩ گل برای ٩ پروانه ٦ میز برای ١٨ نفر پ( ٤ میز برای ١٢ نفر ١٢ جفت جوراب برای ٤ نفر ت( ٦ جفت جوراب برای ٣ نفر تناسب نخست مقدارهایی )کمیت هایی( را درنظر بگیرید که متناسبند. به عنوان مثال اندازه محیط هر چندضلعی منتظم با اندازه ضلع آن متناسب است و یا میزان ویتامین ث موجود در یک نوع میوه با وزن آن نوع میوه متناسب است مثال در هر 100 گرم پرتقال 70 میلی گرم فسفر وجود دارد. سؤال هایی در ارتباط با این کمیت های متناسب طرح کنید و بخواهید که یک یا چند تناسب را با استفاده از آن مقدارهای متناسب بنویسند. سپس مقدارهایی را درنظر بگیرید که متناسب نیستند و سؤال هایی مرتبط 121

130 با آنها مطرح کنید و در این سؤالها بپرسید که آیا تناسبی با استفاده از این مقدارها میتوان نوشت. به نمونههایی از سؤالهای مرتبط با تناسب توجه کنید. ٢٢ آیا در هر قسمت مقدارهای داده شده متناسبند در صورتی که متناسب باشند تناسب مربوط به آنها را بنویسید. ١( ٦ سیب برای ٣ نفر ٨ سیب برای ٤ نفر ٢( پیمودن ٢٠٠ متر راه در مدت ١٢ دقیقه پیمودن ١٢٠٠ متر راه در مدت ٧٢ دقیقه ٣( ٦ متر طول و ٣ متر عرض ١٤ متر طول و ٧ متر عرض ٢٣ با استفاده از جدول داده شده: ٥٠ ٤٠ ویتامین ث )میلیگرم( ٨٠ ٦٤ آب پرتقال )گرم( الف( نسبت مقدار ویتامین ث به مقدار آب پرتقال را در هر قسمت تعیین کنید. ب( در صورتی که آب پرتقال و ویتامین ث موجود در آن متناسب اند تناسب مربوط به آنها را بنویسید. ٢٤ در هر قسمت یک عدد مناسب بنویسید تا یک تناسب به دست آید = )٤ 24 = )٣ = 5 )٢ = )١ ٢٥ بهرام مسافت ١٨٠٠ متر را در مدت ٢ ساعت پیمود. بهرام با همان سرعت: الف( مسافت ٢٧٠٠ متر را در چه مدتی می پیماید ب( در مدت ٥ ساعت چند متر را طی می کند ٢٦ در یک شهر نسبت شب به روز ٥ به ٧ است تعیین کنید در مدت ٢٤ ساعت یک شبانه روز چند ساعت شب و چند ساعت روز است. ٢٧ برای تهیه یک نوع شیرینی آرد و شکر را به نسبت ٧ به ٢ مخلوط می کنند. تعیین کنید برای تهیه ٢٧ کیلو از این شیرینی: الف( چند کیلو آرد الزم است ب( چند کیلو شکر الزم است 122

131 ٢٨ چند مثلث متساوی االضالع و اندازه ضلع آنها داده شده است. ٢ اندازۀ ضلع ٥ ٨ ١٢ ٢٠ ٦ اندازه محیط 3 ۵ ۸ الف( جدول داده شده را کامل کنید. ب( نسبت اندازه محیط هر مثلث متساوی االضالع به اندازه ضلع آن را تعیین کنید. آیا انداز ه محیط هر مثلث متساوی االضالع با اندازه ضلع آن متناسب است پ( در صورت متناسب بودن کمیت های باال ٣ تناسب با استفاده از جدول باال بنویسید. ٢٩ فرهاد می خواهد ٢٤٠٠٠ تومان را بین دو فرزند ٥ ساله و ٧ ساله اش به نسبت سن آنها تقسیم کند. تعیین کنید به هرکدام چند تومان می رسد ٣٠ یک زاویه سه برابر زاویه دیگر است. اگر اختالف این دو زاویه ٥٠ درجه باشد انداز ه هریک از آنها را تعیین کنید. درصد مفهوم درصد یکی از مفاهیم ریاضی پرکاربرد است که عموما هر روز در رسانه های شنیداری تصویری و روزنامه ها در زمینه های مختلف فرهنگی اجتماعی محیط زیست کشاورزی صنعت و مطرح می شود. بنابراین طرح سؤال های مرتبط با درصد گستره وسیعی دارد. البته باید توجه داشته باشید که در ریاضی سال پنجم دبستان تنها درصدهای نابزرگ تر از ١٠٠% مطرح شده است یعنی نسبت بین دو مقدار کوچک تر از ١ و یا حداکثر برابر ١ است و نباید نسبت های بزرگ تر از ١ را در این مقطع مطرح کنیم. به عالوه باید توجه داشته باشیم که نسبت عددهای اعشاری و نسبت عددهای مخلوط در این سال گفته نشده است. به نمونه هایی از سؤال های مربوط به درصد توجه کنید. ٣١ در یک معدن از هر ٤٠٠ کیلوگرم سنگ معدن 80 کیلوگرم فلز خالص به دست می آید. الف( نسبت وزن فلز خالص به وزن سنگ معدن را تعیین کنید. ب( یک نسبت مساوی نسبتی که در باال به دست می آید بنویسید که مخرج آن ١٠٠ باشد. پ( چند درصد از سنگ این معدن فلز خالص است. 123

132 ٣٢ در یک استان از کشورمان ٢٤٠ تن محصول ذرت تولید می شود. ١٨٠ تن از این مقدار به مصرف خوراک دام می رسد. تعیین کنید: الف( نسبت مقدار ذرت مصرف شده برای خوراک دام به مقدار کل ذرت تولید شده در این استان را. ب( یک نسبت مساوی نسبت به دست آمده در باال بنویسید که مخرج آن ١٠٠ باشد. پ( چند درصد از محصول ذرت تولید شده در این استان به مصرف خوراک دام می رسد ٣٣ در یک کالس که ٢٤ نفر دانش آموز دارد ٦ نفر عالقمند به خطاطی هستند. تعیین کنید چنددرصد از دانش آموزان این کالس به خطاطی عالقمندند. ٣٤ جدول زیر تعداد بردها باخت ها و تساوی های یک تیم والیبال در یک سال را نشان می دهد. تعیین کنید این تیم: 124 مساوی باخت ٤ ١٢ برد ٢٤ الف( چند درصد از بازی ها را برده است ب( چنددرصد از بازی ها را باخته است پ( چند درصد از بازی ها را مساوی کرده است ٣٥ یک کتاب ٢٥٠ صفحه دارد. محمود %٢٠ از صفحه های این کتاب را خوانده است. محمود چند صفحه از این کتاب را خوانده است ٣٦ یک کارخانه اتومبیل سازی در هر سال ٢٥٠٠٠٠ اتومبیل تولید می کند. اگر %٤٠ از این اتومبیل را به خارج از کشور صادر کند چند اتومبیل برای فروش در داخل کشور باقی می ماند ٣٧ در یک باغچه ٣٦٠ عدد گل های مختلف کاشته شده اند. اگر %٢٥ از این گل ها گل سرخ %١٠ گل الله و %١٥ آن گل شب بو باشند تعداد گل های سرخ الله و شب بو در این باغچه را تعیین کنید. چند گل از انواع دیگر در این باغچه هست ٣٨ اگر %٤٥ عددی ٩٠ باشد آن عدد را تعیین کنید. ٣٩ اگر %٢٥ از گنجایش یک ورزشگاه ٢٥٠٠٠ نفر باشد گنجایش این ورزشگاه چند نفر است ٤٠ هریک از درصدهای زیر را به کسر تبدیل کنید و تاحدامکان ساده کنید. ١٠٠% )٩ ٧٥% )٨ ٥٠% )٧ ٢٥% )٦ ١٠% )٥ ٤% )٤ ٣% )٣ ٢% )٢ ١% )١

133 ٤١ هر یک از شکل های زیر به قسمت های مساوی تقسیم شده است. تعیین کنید چنددرصد از هرکدام از آنها رنگ شده است چند درصد رنگ نشده است چند جدول برای استخراج نسبت بین دو کمیت نسبت های مساوی تناسب و درصد به منظور طراحی فعالیت کار در کالس و با تمرین. در صورت لزوم: عددها را می توانید گرد کنید و اگر الزم بود بزرگ یا کوچک کنید. جدول مواد موجود در صد گرم دانۀ خشک و رسیده سویا جوانۀ سویا شیر سویا و سس سویا مواد دانه خشک سویا جوانه سویا شیر سویا سس سویا ١٠ گرم ٨٦ گرم 92/5 گرم 62/8 گرم آب 6 گرم 3/4 گرم 5/6 گرم پروتئین ٣٤ گرم چربی ١٧/٧ گرم 1/4 گرم 1/5 گرم 1/3 گرم مواد نشاسته ای ٢٩ گرم ٧/4 گرم ٢/٢ گرم 9/5 گرم کلسیم ٢٢٦ میلی گرم ٤٨ میلی گرم ٢٠ میلی گرم ٨٢ میلی گرم فسفر ٥٥٠ میلی گرم ٦٧ میلی گرم ٤٨ میلی گرم ١٠٤ میلی گرم آهن 8/4 میلی گرم ١ میلی گرم 0/8 میلی گرم 4/8 میلی گرم ویتامین آ 80 واحد ٨٠ واحد ٤٠ واحد ٧٣٢٠ واحد ویتامین ب ١ ١/١ میلی گرم 0/25 میلی گرم 0/8 میلی گرم 0/02 میلی گرم ویتامین ب ٢ 0/3 میلی گرم 0/2 میلی گرم 0/03 میلی گرم 0/25 میلی گرم ویتامین ب ٣ ٢/٢ میلی گرم 0/8 میلی گرم 0/2 میلی گرم 0/4 میلی گرم 125

134 فیبر )gr( چربی )gr( کلسترول )mg( آهن )mg( نام ماده غذایی در ١٠٠ گرم کربوهیدرات کالری /1 3/0 ٦٢ نان لواش /1 5/0 57 نان بربری / نان سنگک / نان باگت 108 5/0 0 3/0 3/1 برنج پخته )بدون روغن( /0 8/0 ماکارونی پخته )بدون روغن( 23 نام ماده غذایی در ١٠٠ گرم کربوهیدرات )گرم( فیبر )گرم( چربی )گرم( کلسترول )میلی گرم( آهن کیلوکالری )میلیگرم( 31 2/0 0 3/0 4/0 7 هندوانه 35 2/ طالبی 48 1/ خربزه 63 3/ انگور 74 4/0 0 3/ انجیر تازه / انجیر خشک 33 1/ هلو 60 5/ سیب با پوست 59 1/ پرتقال 43 1/ نارنگی 61 4/0 0 5/ کیوی 37 3/ لیموشیرین 275 3/1 0 4/ خرما 92 3/0 0 3/ موز 126

135 نام ماده غذایی در ١٠٠ گرم کربوهیدرات )گرم( فیبر )گرم( چربی )گرم( کلسترول )گرم( آهن )گرم( کیلوکالری انرژی شیر گاو پرچرب شیر پاستوریزه شیر ٢% چربی 87 3/ شیرکاکائو ماست پاستوریزه ماست پرچرب 260 3/ پنیر پاستوریزه دوغ کشک بستنی خامه 716 2/ کره مواد مغذی اصلی آب )گرم( انرژی )کالری( پروتئین )گرم( چربی )گرم( الکتوز )قند شیر( )گرم( کلسیم )میلیگرم( فسفر )میلیگرم( ویتامین»آ«)میکروگرم( ویتامین»د«)میکروگرم( ویتامین»ب ١«)میلیگرم( ویتامین»ب ٢«)میلیگرم( 127 جدول مواد موجود در ١٠٠ گرم پرتقال پوستکنده ٨٦ گرم آب ١ گرم پروتئین ٠/٢ گرم نشاسته ١٢ گرم کلسیم ٤٠ میلیگرم فسفر ٢٠ میلیگرم آهن ٠/٤ میلیگرم سدیم ١ میلیگرم پتاسیم ٢٠٠ میلیگرم ویتامین آ ٢٠٠ واحد ویتامین ب ١ ٠/١ واحد ویتامین ب ٢ ٠/٠٤ میلیگرم ویتامین ب ٣ ٥٠ میلیگرم ویتامین ث مقدار متوسط)در ١٠٠ گرم شیر( 87/5 66 3/4 3/9 ٤/ ٥٢ 0/03 0/04 0/2

136 چک لیست ارزشیابی ردیف ارزشیابی توصیفی خیلی خوب خوب قابل قبول نیازمند تالش ١ مفهوم نسبت بین دو مقدار را می فهمد. در موقعیت های مختلف تشخیص می دهد که کدام موقعیت به نسبت مربوط است. ٢ ٣ می تواند نسبت ها را باهم مقایسه کند. ٤ کاربرد نسبت در درون ریاضی را می داند. ٥ کاربرد نسبت در ریاضی و علوم دیگر را می داند. ٦ در حل کردن مسئله ها از نسبت استفاده می کند. ٧ در به کارگیری نسبت به مهارت رسیده است. ٨ صورت های مختلف نمایش نسبت را می شناسد. ٩ صحبت کردن با مفهوم نسبت را می داند. از نسبت در زمینه های فرهنگی اجتماعی تربیتی استفاده می کند مانند توجه به محیط زیست تغذیه و سالمت صنعت پس انداز ١٠ ١١ چند نسبت را می تواند باهم مقایسه کند. ١٢ نسبت های مساوی را تشخیص می دهد. ١٣ نسبت های نامساوی را تشخیص می دهد. می تواند یک یا چند نسبت مساوی یک نسبت داده شده بنویسد. ١٤ از رسم شکل برای تعیین نسبت های مساوی استفاده می کند. ١٥ ١٦ نسبت های مساوی را در حل مسائل به کار می گیرد. 128

137 کاربرد نسبت های مساوی در درون و برون ریاضی را می داند. مفهوم کمیت های متناسب را می داند. مفهوم کمیت های نامتناسب را می داند. مفهوم تناسب را می داند. می تواند جزء چهارم یک تناسب را به دست آورد. در حل مسائل از تناسب استفاده می کند. در مسائل فرهنگی اجتماعی تربیتی تناسب را به کار می گیرد. مفهوم درصد را درک می کند. ارتباط بین نسبت و درصد را می داند. می تواند یک درصد را محاسبه کند. در حل مسائل از درصد استفاده می کند. در زمینه های فرهنگی اجتماعی تربیتی از مفهوم درصد استفاده می کند. می تواند با مفهوم درصد صحبت کند. رابطه بین نسبت نسبت های مساوی تناسب و درصد را می داند. مهارت تصویرسازی و استفاده از آنها برای نسبت تناسب و درصد را دارد. می تواند به طور غیرمستقیم مفاهیم و ایده هایی از حوزه های اجتماعی فرهنگی مانند توجه به محیط زیست ارزش کار ارزش های سالمت و را طرح کند. ١٧ ١٨ ١٩ ٢٠ ٢١ ٢٢ ٢٣ ٢٤ ٢٥ ٢٦ ٢٧ ٢٨ ٢٩ ٣٠ ٣١ ٣٢ 129

138 4 تقارن و چند ضلعیها نگاه کلی به فصل این فصل شامل چهار درس است. درس اول با یادآوری مفهوم خط تقارن و تقارن خطی شروع میشود و در ادامه این مفهوم با توجه بیشتری نسبت به سالهای قبل مورد بررسی قرار میگیرد. درس دوم به مفهوم تقارن مرکزی و مرکز تقارن میپردازد. اگرچه در سالهای قبل نمونههایی از این مطلب برای دانشآموزان در غالب مثال آمده است ولی برای اولین بار این مفهوم در این کتاب معرفی میشود. درس سوم به معرفی زاویه و نیمساز میپردازد. دانشآموزان با مفهوم زاویه و انواع آن به خوبی آشنایی دارند ولی مفهوم نیمساز برای اولین بار ارائه میشود. سرانجام درس آخر این فصل مربوط به چندضلعیهاست. در این فصل دانشآموزان میتوانند مجموع زوایای مثلث و چهارضلعی را بهدست آورند و با برخی از ویژگیهای قطر و نیمساز در چهارضلعیها آشنا میشوند.

139 تصویر عنوانی اهداف اصلی این فصل درک مفاهیم تقارن زاویه و چندضلعی هاست و بنابراین در این فصل تصویرهایی از بناهای تاریخی اماکن متبرکه تصاویر طبیعی موجودات زنده و آمده است که در آنها تقارن انواع زاویه ها و چهارضلعی ها دیده می شوند. دانستنی هایی برای معلم تقارن: تقارن یکی از مفاهیم زیبا و در عین حال مهم و پرکاربرد در هندسه می باشد. تقارن در خارج از ریاضیات و مخصوصا در طبیعت نیز وجود دارد. در ساختارهای مولکولی و بلورها شبکه های کریستالی و تقارن های موجود باعث می شود که خواص زیادی از آنها توسط دانشمندان به طور دقیق مورد بررسی قرار گیرد. در معماری وجود تقارن زیبایی خاصی به ساختمان ها و بناهای تاریخی بخشیده است. یکی از این بناهای تاریخی به عنوان تصویر اصلی فصل انتخاب شده است که به خوبی تقارن آینه ای یا بازتاب را نشان می دهد. توسعه مفاهیم و اهداف دانش آموزان با خط تقارن آشنا هستند ام ا در این بخش با استفاده از قرینه یک نقطه می توان قرینه بقیه شکل را به دست آورد. در فصل این مفهوم در دو مرحله آموزش داده می شود با استفاده از کاغذ شطرنجی و بدون استفاده از آن. مثال های قابل فهم مثل انعکاس تصویر یک درخت در آب یک برگ یک پروانه تصویر یک حیوان از جلو یا تصویر شخص در آینه به خوبی می تواند خط تقارن و بازتاب یا انعکاس را نشان دهد. از اهداف دیگر این بخش این است که دانش آموزان درک کنند 131

140 یک شکل می تواند خط تقارن نداشته باشد یا تعدادخط های تقارن بیشتر از یک خط باشد. اگرچه در سال های قبل با شکل هایی آشنا شده اند که دارای یک یا دو خط تقارن بوده است ولی در این بخش شکل هایی با ٦ ٤ و ١٠ خط تقارن نیز آمده اند. از دیگر ویژگی مثال های این بخش این است که دانش آموز می تواند با درنظر گرفتن نقاط روی یک شکل قرینه شکل را بدون استفاده از کاغذ شطرنجی پیدا کند. در قسمت آخر این بخش مفهوم تقارن مرکزی و مرکز تقارن بیان شده است. هدف اصلی این بخش این است که دانش آموز مفاهیم تقارن مرکزی و مرکز تقارن را درک کند و بداند که در تقارن مرکزی اندازه شکل تغییر نمی کند ولی جهت آن تغییر می کند. به عبارت دیگر دانش آموز با مفهوم دوران به اندازه ١٨٠ درجه آشنایی پیدا کند و بتواند قرینه شکل نسبت به یک نقطه را با دوران ١٨٠ درجه پیدا کند. بنابراین در این درس از دانش آموز انتظار می رود مفاهیم زیر را درک کند: الف( خط تقارن ب( تقارن محوری ج( مرکز تقارن د( تقارن مرکزی 132

141 درس او ل خط تقارن روش تدریس برای شروع این بخش می توان با یادآوری مفهوم خط تقارن خط تقارن تصویر یک شیء یا یک موجود زنده را پیدا کرد. هدف فعالیت اول پیداکردن قرینه شکل نسبت به خط تقارن با استفاده از پیدا کردن قرینه نقاط در کاغذ شطرنجی است. برای پیدا کردن قرینه نقاط به جز روش محمد مهدی و علی می توان با شمردن تعداد مربع ها یا استفاده از آینه نیز قرینه نقطه را پیدا کرد. همچنین هدف کار در کالس کسب مهارت در فعالیت باال و تصور کردن قرینه شکل بدون رسم آن است. مثال زیر می تواند به این کار در کالس اضافه شود: کار در کالس شما میتوانید قرینه شکل را نسبت به خط تقارن به کمک آینه تا کردن و یا تصویر ذهنی مجسم کنید به کمک کار در کالس ١ قرینه شکلهای زیر را ابتدا با تصور ذهنی نسبت به خطهای تقارن داده شده رسم کنید. هدف فعالیت ٢: آموزش مفاهیم باال در کاغذ غیرشطرنجی و بااستفاده از گونیا و خطکش است باید دقت شود که در کار در کالس مربوط به این قسمت کاغذها دقیقا به شکل مستطیل یا هر شکلی که در آن آمده است باشند. از آنجایی که هدف اصلی پیداکردن قرینه یک شکل با استفاده از پیدا کردن قرینه نقاط است در این کار در کالس اکثر مثالها در مورد پیدا کردن قرینه نقاط است. 133

142 حل برخی از تمرین ها تمرین ٢: شکل سمت راست دارای چند خط تقارن است. در این شکل دقیقا ٦ خط تقارن وجود دارد که تاکنون به جز شش ضلعی یک شکل با این تعداد خط تقارن مطرح نشده است. این شکل قسمت اصلی یک مولکول به نام فولرن است. فولرن در سال ١٩٨٥ توسط هری کروتو و همکارانش در یک آزمایشگاه در آمریکا ساخته شد و دنیای نانوتکنولوژی با پیدایش فولرن C ٦٠ یا باکی بال وارد مرحله تازه ای شد. کروتو و همکارانش به خاطر این کشف بزرگ جایزه نوبل دریافت کردند. تمرین هایی برای ارزشیابی ١ در شکل های زیر تعداد خطوط تقارن را پیدا کنید. ٢ الف( شکل زیر چند خط تقارن دارد ب( یک مربع را طوری رنگ کنید که شکل خط تقارن نداشته باشد. ج( آیا می توانید یک مربع را طوری رنگ آمیزی کنید که شکل چهار خط تقارن داشته باشد 134

143 ٣ در کاغذ مربعی شکل زیر تعدادی نقاط رنگی رسم شده است. الف( قرینه نقطه آبی نسبت به خط قرمز را رسم کنید. ب( قرینه نقطه سیاه نسبت به خط آبی را رسم کنید. ج( قرینه نقطه قرمز نسبت به خط آبی را پیدا کنید. ٤ در هر شکل خط های تقارن را پیدا کنید. ٥ در شکل های زیر قرینه هر شکل را نسبت به خط تقارن رسم کنید. ٦ همه خطوط تقارن شکل های زیر را رسم کنید. 135

144 درس دوم مرکز تقارن اهداف درک مفاهیم زیر ١ تقارن مرکزی ٢ مرکز تقارن ٣ در تقارن مرکزی اندازه شکل تغییر نمیکند ولی جهت تغییر میکند. ابزارهای مورد نیاز : ١ کاغذ شفاف یا صفحه پوستی ٢ کاغذ شطرنجی روش تدریس این درس بهطور کلی به آموزش مفهوم مرکز تقارن و تقارن مرکزی میپردازد.از آنجایی که این مفهوم برای اولین بار ارائه میشود بنابراین باید با یک مقدمهای در مورد چرخش و اجسام دورانی بحث را شروع کنید. میتوانید از شکلهای زیادی در طبیعت همانند پنکه چرخ و فلک چرخ گاری و که بیانگر چرخش هستند شروع کنید. در اینجا نهایت دقت را بهعمل آورید زیرا هدف آموزش محور دوران نیست. بنابراین فقط چرخشهایی که در صفحه میباشند را برجسته کنید. از آنجا که هدف اصلی این درس درک این مطلب است که قرینه مرکزی چرخش به اندازه ١٨٠ درجه است بنابراین از دورانهای ١٨٠ درجه بحث را شروع کنید. فعالیت ١ در واقع برای درک مفهوم مرکز تقارن کار در کالس برای کسب مهارت بیشتر در درک این مفهوم است. در فعالیت ٢ برای درک قرینه مرکزی است و کار در کالس هم برای کسب مهارت و آموزش مفاهیم باالست. از آنجایی که این مفهوم برای اولین بار ارائه شده است و در سال بعد با توسعه بیشتری ادامه پیدا میکند از مدرسین 136

145 انتظار می رود این مفهوم را با استفاده از پیدا کردن قرینه یک نقطه آموزش ندهند زیرا هدف اصلی این بخش نیست. همچنین توصیه می شود این مفاهیم را در کاغذ شطرنجی آموزش دهید. تمرین های زیر می توانند به عنوان مثال های کمکی در تدریس استفاده شوند: ١ قرینه شکل روبه رو نسبت به نقطه داده شده کدام یک از شکل های زیر است. سعی کنید ابتدا قرینه هر شکل را تصور کنید و سپس قرینه شکل را با استفاده از دوران ١٨٠ درجه رسم کنید. ٢ شکل های زیر را حول مرکز تقارن ١٨٠ درجه دوران دهید تا قرینه آنها نسبت به مرکز تقارن پیدا شوند. 137

146 ٣ قرینه شکل )١( نسبت به خط تقارن قرمز رنگ را پیدا کنید تا شکل )٢( به دست آید. سپس قرینه شکل )٢( نسبت به خط آبی را پیدا کنید تا شکل )٣( به دست آید. اگر قرینه شکل )١( را نسبت به نقطه»آ«پیدا کنید چه نتیجه ای می گیرید توضیح دهید. ٤ اگر هر شکل به اندازه ١٨٠ درجه در جهت عقربه های ساعت چرخیده باشد مرکز تقارن هر شکل را پیدا کنید. 138

147 درس سوم زاویه و نیمساز اهداف ١ مجموع زوایای مثلث = ١٨٠ ٢ درک مفهوم نیمساز و پیدا کردن آن با استفاده از نقاله ٣ بهکارگیری مفهوم نیمساز برای پیدا کردن زاویه مجهول در یک شکل هندسی نکته: استفاده از پرگار در این فصل توصیه نمیشود. ابزارهای مورد نیاز ١ نقاله ٢ خطکش ٣ گونیا ٤ قیچی برای بریدن روش تدریس از آنجایی که دانش آموز با مفهوم زاویه و انواع آن آشنایی دارد می توانید با یک تمرین یا یک مثال یا یک تصویر ساده همانند دکل های برق مفهوم زاویه را یادآوری کنید. سپس با فعالیت ١ درس را شروع کنید. در این فعالیت دقت کنید که حتما به روش گفته شده مجموع زوایای یک مثلث پیدا شوند و هرگز با استفاده از نقاله زاویه ها اندازه گیری نشوند زیرا خطاهای احتمالی در اندازه گیری باعث می شود که نتیجه درست و منطقی که مجموع زوایای مثلث برابر با ١٨٠ است حاصل نشود. از آنجایی که دانش آموز می داند اندازه زاویه نیم صفحه ١٨٠ درجه است با کنار هم قرار دادن مناسب گوشه های انواع مثلث های مختلف یک زاویه نیم صفحه به دست می آورد و از این رو نتیجه موردنظر به آسانی حاصل می شود. نکته: در این مثال دانش آموز بدون اندازه گیری و با یک اثبات نظری مسئله را حل می کند. تمرین های کار در کالس بسیار ساده طراحی شده اند و هدف همه آنها تثبیت هدف فعالیت است. 139

148 در فعالیت ٢ برای اولین بار دانش آموزان با استفاده از نقاله نیمساز یک زاویه را اندازه گیری می کنند و در ادامه تمرین های این فعالیت از مفهوم نیمساز برای اندازه گیری زاویه مجهول استفاده شده است. تمرین های کار در کالس نیز در همین راستا طراحی شده اند. برای مثال های بیشتر می توانید از تمرین های زیر کمک بگیرید. کار در کالس ١ در شکل های زیر اندازه زاویه داده شده را به دست آورید. ٤۵ 30 ٢ در جاهای خالی سه عدد متوالی طوری قرار دهید که زاویه های یک مثلث باشند. و و ٣ آیا مثلث می تواند دو زاویه راست داشته باشد توضیح دهید. ٤ یک مثلث رسم کنید که همه زاویه های آن تند باشند. ٥ جاهای خالی را با نوشتن عددی مناسب پر کنید: الف( نیمساز یک زاویه درجه را به دو زاویه ٣٠ درجه تقیسم می کند. ب( تقارن محوری ندارد ولی مرکز تقارن دارد. 140

149 فرهنگ خواندن زاویه یا گوشه یک مفهوم هندسی است که به ناحیهای از صفحه گفته میشود که بین دو نیمخط که در یک نقطه مشترکاند قرار دارد و به نقطه مشترک این دو نیمخط رأس گفته میشود. همانطور که میدانیم یک واحد اندازهگیری زاویه درجه است. این مفهوم ترجمه انگلیسی angle است که خود از واژه التین angulus به معنی گوشه گرفته شده است. برای اندازهگیری زاویه از نقاله استفاده میشود. اگر دایره را به ٣٦٠ قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت یک زاویه معادل یک درجه میسازد. از دیگر واحدهای اندازهگیری زاویه رادیان است. یک رادیان معادل 180 درجه است. π انواع زاویه عبارتند از: زاویه تند: اندازه آن کمتر از ٩٠ درجه است. زاویه راست: اندازه آن برابر ٩٠ درجه است. زاویه باز: اندازه آن بیشتر از ٩٠ و کمتر از ١٨٠ درجه است. زاویه بازتاب: اندازه آن بیشتر از ١٨٠ درجه و کمتر از ٣٦٠ درجه است. زاویه کامل: اندازه آن برابر ٣٦٠ درجه است. منبع: ویکی پدیا 141

150 درس چهارم چند ضلعی ها و مجموع زوایای آنها اهداف ١ مجموع زوایای یک چهارضلعی برابر با ٣٦٠ درجه است. ٢ مرور ویژگیهای چهارضلعیها و ویژگی قطر و نیمساز در مربع مستطیل لوزی و متوازیاالضالع ابزارهای مورد نیاز : 1 خطکش 2 گونیا روش تدریس از آنجایی که دانشآموزان با مفهوم چندضلعیها آشنایی دارند درس میتواند با یادآوری مفهوم چندضلعی شروع شود یا با یک کاربرد از آنها مثال استفاده از چندضلعیها در کاشیکاری. فعالیت ١ برای یادآوری ویژگیهای چهارضلعیهاست مثل تعداد زاویهها و انواع آنها متوازیاضالع و تعداد زاویههای راست و. البته با استفاده مفاهیم بخش ١ در سطر آخر جدول اطالعاتی در مورد تعداد خطهای تقارن آنها هم بهدست میآید. در قسمت دوم این فعالیت دانشآموز با دو روش میتواند مجموع زوایای داخلی یک چهارضلعی را پیدا کند. روش اول شاخه مثلث است و در روش دوم با تبدیل یک چهارضلعی به دو مثلث میتوان مجموع زوایا را پیدا کرد. یک تمرین خوب برای روش دوم محاسبه مجموع زوایای داخلی پنج ضلعی و ششضلعی است که برای تمرین بیشتر پنجضلعی توصیه میشود. هدف فعالیت دوم این است که دانشآموز بداند در بعضی از چهارضلعیها مثل متوازیاالضالع لوزی مربع و مستطیل قطرها همدیگر را نصف میکنند ولی در همه چهارضلعیها این مطلب درست نیست. بهعنوان مثال در ذوزنقه دلخواه در حالت کلی این قاعده برقرار نیست. در ادامه این فعالیت هدف این است که دانشآموز بداند در برخی از چهارضلعیها مثل مربع و لوزی قطرها نیمسازند ولی مثال در مستطیل اینطور نیست. برای درک بهتر این قسمت پیشنهاد میشود انواع چهارضلعیها 142

151 ارائه شوند. سرانجام در قسمت آخر این فعالیت در مورد ارتباط قطر خط تقارن در یک چهارضلعی بحث می شود. از آن جایی که در تمرین ٣ برای ذوزنقه متساوی الساقین مستطیل لوزی و متوازی االضالع در مورد ارتباط نیمساز و خط تقارن سؤال پرسیده شده است. پیشنهاد می شود تمرین زیر به این فعالیت اضافه شود. فعالیت ١ در کدامیک از شکلهای زیر قطرها روی خط تقارن شکل قرار دارند. ٢ در فعالیت باال آیا نیمسازها روی خط تقارن قرار دارند ٣ کدام یک از شکل های فعالیت ١ مرکز تقارن دارند ٤ مثلثی رسم کنید که دارای سه خط تقارن باشد. ٥ ذوزنقه ای رسم کنید که دارای دو خط تقارن است. نام دیگر این چهارضلعی چیست ٦ مستطیلی که چهار خط تقارن دارد چه نام دارد بدفهمیها معموال نتایجی که در مورد یک شکل هندسی بهدست میآید قابل تعمیم نیست. به عنوان مثال در مورد ذوزنقه متساویالساقین فعالیت ٤ در باال مثلث متساویاالضالع سه خط تقارن دارد در حالی که مثلث متساویالساقین یک خط تقارن دارد و سایر مثلثها فاقد خط تقارن هستند. بنابراین در این موارد از دانشآموزان بخواهید تا توضیح دهند که چرا نتیجهای که بهدست آمده است فقط در مورد این شکل خاص برقرار است. سپس از وی بخواهید تا نتایج حاصل را در صورت امکان در مورد سایر چندضلعیها تعمیم دهند. توصیههای آموزشی ١ در طرح سؤالهای مربوطه سطح دانشآموزان درنظر گرفته شود و متناسب با سطح آنها مسئله و تمرین داده شود. ٢ برای درک بهتر مفاهیم از اشیا و اجسام طبیعی نیز استفاده کنید. 143

152 به عنوان مثال در بخش مربوط به تقارن و چندضلعی ها حتما از کاغذ و قیچی یا کاغذ شفاف استفاده شود. ٣ آموزگاران محترم به کتاب های ریاضی سال های اول تا چهارم احاطه کامل داشته باشند. مفهوم زاویه و انواع آن به خصوص سر کالس چهارم به تفصیل آمده است و مفهوم خط تقارن در سال های دوم و سوم به اندازه کافی و مبسوط آمده است. تمرین هایی برای ارزشیابی ١ جدول زیر را کامل کنید. مثلث مربع پنج ضلعی شش ضلعی هفت ضلعی چندضلعی ٢ تعداد مثلث ها در چندضلعی ١ ٥ تعداد ضلع ها در چندضلعی ٣ ٢ یک مثلث رسم کنید و ویژگی های آن را بیان کنید. ٣ کدام یک از جمالت زیر درست و کدام غلط است: الف( هر لوزی یک نوع مربع است. ب( مستطیل یک نوع متوازی االضالع است. ج( هر مربع یک مستطیل است ولی هر مستطیل یک مربع نیست. ٤ در کدام شکل ها نیمساز خط تقارن نیز هست لوزی مربع ذوزنقه متوازی االضالع مثلث متساوی الساقین ٥ در هریک از دسته اعداد زیر زاویه های مربوط به یک چهارضلعی آمده است. نوع چهارضلعی را مشخص کنید. الف( ٩٠ ٩٠ ٩٠ ٩٠ ب( ٦٠ ١٢٠ ٩٠ ٩٠ ج( ٦٠ ٦٠ ١٢٠ ١٢٠ د( ٦٠ ٣٠ ١٤٠ ١٣٠ 144

153 5 اعداد اعشاری نگاه کلی به فصل این فصل شامل ٤ درس است. آشنایی با اعداد اعشاری جمع تفریق و ضرب اعداد اعشاری دانشآموزان در کالس چهارم با اعداد اعشاری تا مرتبۀ دهم آشنا شدهاند. در درس او ل با یادآوری عدد مخلوط و اعشاری شناخت آنها تا مرتبۀ هزارم توسعه مییابد. در سه درس بعدی عملیات جمع و تفریق و ضرب اعداد اعشاری کار میشود. دانشآموزان ضمن آشنایی با طرق مختلف جمع و تفریق به ضرورت توجه به ارزش مکانی در عملیات واقف میشوند و در درس آخر با ضرب اعداد اعشاری درهم و ضرب اعداد اعشاری در ١٠ و ١٠٠ و آشنا میشوند. ارتباط اعداد اعشاری و زندگی با کاربرد آنها در واحدهای مختلف اندازهگیری مورد توجه واقع شده است.

154 شبکه مفهومی ارزش مکانی )رابطه دهدهی( گسترده نویسی مقایسه و مرتب کردن عدد مخلوط عدد اعشاری تقریب زدن عملیات جمع و تفریق و ضرب ١٠ و ١٠٠ و برابرکردن تصویر عنوانی آشنایی دانش آموزان با مفاخر ایران در ارتقا خودباوری و غرور ملی تأثیر بسزایی دارد. در این راستا غیاث الدین جمشید کاشانی به عنوان یکی از دانشمندانی که حدود ٦٠٠ سال پیش می زیسته و کسرهای دهگانی )اعشاری( را ابداع کرده معرفی شده است. همچنین یکی از موارد کاربرد اعداد اعشاری لزوم حساسیت در اندازه گیری هاست و این موضوع در مسابقات ورزشی نمود بیشتری پیدا می کند. دانستنی های معلم تا پیش از اختراع عددهای اعشاری هر واحد را به شصت قسمت برابر تقسیم می کردند و درصورت لزوم هریک از آنها را نیز به شصت قسمت کوچک تر تقسیم می کردند و همین طور ادامه می دادند. مانند تقسیم هر ساعت به شصت دقیقه و هر دقیقه به شصت ثانیه. انجام محاسبات با این 146

155 عددها کار بسیار مشکلی بود اما حدود ٦٠٠ سال پیش یک دانشمند این مشکل را برای همیشه حل کرد. او هر واحد را به جای تقسیم به شصت به ده تقسیم کرد. این ریاضیدان اولین بار از عدد اعشاری اختراعی خود برای نوشتن عدد پی استفاده کرد. او عدد پی را به کمک ٨٥٠٣٦٠٣٦٨ ضلعی منتظم تا هفده رقم اعشار محاسبه کرد. تا دویست سال پیش اعداد اعشاری را به صورت های مختلفی می نوشتند. برای مثال عدد ٤/٧٥ را به صورت هایی که در جدول می بینید می نوشتند. ٤/٧٥ ٤,٧٥ ٤ ٠ ٧ ١ ٥ ٢ ٤.٧٥ ٤ ٧٥ ٤ ٧ ٥ ٤, ٠ ٧, ١, ٥, ٢ ٤(٧٥) ٤ : ٤ ٧ ٥ ٤ ٧٥ ٢ ٤ ٧٥ ٧ ٥ در حال حاضر نیز کشورهای گوناگون برای نوشتن عددهای اعشاری از روشهای متنوعی استفاده میکنند. ایران امریکا انگلستان اروپا ٤/٧٥ º یا 75 4 مخترع عددهای اعشاری ریاضیدان و ستاره شناس برجسته ایرانی»غیاث الدین جمشید کاشانی«است. توسعۀ مفاهیم در هریک از مراحل آموزش دهم صدم و هزارم تأکید بر ارتباط کسر و عدد مخلوط با اعداد اعشاری که منجر به ساختن یک ایده هماهنگ از اعداد خواهد شد. جمع و تفریق اعداد اعشاری نیز با استفاده از ابزار کشیدن شکل و نشان دادن عملیات روی محور به تفهیم بهتر کمک خواهد کرد. دانشآموزان باید با روشهای مختلف جمع و تفریق به این درک کلی برسند که مرتبههای یکسان را باهم جمع کنند و انتقال به مرتبه دیگر را تجربه و تمرین کنند و در درس ضرب همانند ضرب کسرها میتوان ضرب اعداد اعشاری را روی مساحت نشان داد. 147

156 استفاده از ابزار تکنولوژی عالوه بر استفاده از نوارهای کسری و صفحات اعشاری برای ساختن اعداد اعشاری و ارتباط آن با اعداد کسری از ماشین حساب در درس ضرب می توان بهره گرفت. سایت: معرفی منابع کمک به کودکان در یادگیری ریاضیات رابرت. ای. ریس مرلین. ن. سایدام موی مونتگوموی لیندکوئیست. ترجمه: مسعود نوروزیان ١٣٩١ انتشارات مدرسه چاپ ششم. آموزش ریاضیات در دبستان روبین یورگنسن شلی دال ترجمه دکتر امیرحسین آشنا ١٣٩٣ بینش نو ویرایش دوم. ریاضیات برای معلمان )نسخه مدرس( گروهی از نویسندگان به سرپرستی جی.ال. مارتین ترجمه شهرناز بخشعلی زاده ١٣٨٩ مؤسسه فرهنگی برهان )انتشارات مدرسه(. B.E.(2014). Musser,G.L., Burger, W.F., & Peterson, Mathemutics for Elementary Teachers; a contemporary approach.usa: Courier kendallville. نمونه سؤالهایی برای ارزشیابی ١ عدد ٨٥٦/٠٩٤ را به حروف بنویسید. گسترده این عدد را بنویسید. رقم صدم و رقم صدگان آن را بنویسید. رقم صدم رقم صدگان ارزش کدام رقم در این عدد از همه کمتر است 148

157 حداقل چقدر به این عدد اضافه کنیم تا رقم دهم آن تغییر کند. ٢ در هر قسمت مشخص کنید ١٠/٠٨٧ بین کدام دو عدد است و دور عددی که به آن نزدیکتر است خط بکشید. ٢ و ١ ١٠١ و ١٠٠ الف( ١١ و ١٠ ١٠/١ و ١٠ ١٠/٢ و ١٠/١ ب( ١٠/٧ و ١٠/٨ ١٠٠/٨٨ و ١٠٠/٨٧ ١٠/٠٩ و ١٠/٠٨ ج( ١٠/٠٩ و ١٠/١ ٣ جای تقریبی عدد ٢/٨٤ را روی محور زیر مشخص کنید. پیکان زیر چه عددی را نشان میدهد 2 3 ٤ جاهای خالی را کامل کنید. ٣/٥٦ یعنی تا یکی و تا دهم و تا صدم. یا 3/56 یعنی تا یکی و تا صدم. ٥ مقایسه کنید. 1 5 ٠/١٠٠ ٠/٦٧٧ ٠/٦٧ یک صدم ٠/٥ ٠/٠٤٩ ٠/٤٩ ٨/٣ ٨/١٢٥ ١٢/٠٩٤ ١٢/١٩ ٦ در جای مناسب اعداد زیر عالمت ممی ز بگذارید. عرض کمد اتاق ١٦٧ متر است. جرم یکی از پرتقال های ظرف میوه ٤٦٨ کیلوگرم است. 7 اعداد زیر را به ترتیب از کوچک به بزرگ و از چپ به راست مرتب کنید. ٥/٠٧ پنجاه و هفت صدم ٥/٢ ٥٠/٠٧ ٥/٠١٨ ٨ جمع و تفریق کنید. 13/9 + 5/7 5/8-2/26 149

158 1 2 ٩ در صفحه مدرج روبه رو عقربه چه عدد اعشاری را نشان می دهد ١٠ اگر محیط این مثلث متساوی الساقین ٩/٣ سانتی متر باشد اندازه قاعده چند سانتی متر است ١١ عرض فرشی ٢/٩٥ متر و طول آن ٣/٧6 متر است. سطح این فرش چند مترمربع است اگر این فرش را در اتاقی به طول و عرض ٤/٥ و ٣/٢ متر بیندازیم چه سطحی از اتاق بدون فرش می ماند ١٢ در جای خالی عدد مناسب بنویسید. ١٠٠٠ ٤/٣٩ = ٠/٣٥٦ = ٣٥/٦ ٢٠٠ ١٤/٧٥ = ١٠٠ = ١٩/٨ 150 چکلیست ارزشیابی ١ عددهای اعشاری تا مرتبه هزارم را می خواند و می نویسد. ٢ رابطه بین مرتبه ها اعم از اعشاری و غیراعشاری را درک می کند. ٣ گسترده عدد اعشاری را می نویسد. ٤ عددهای اعشاری را با حذف ارقام اعشاری تقریب می زند. ٥ عددهای اعشاری را باهم مقایسه می کند. ٦ جای اعداد اعشاری را روی محور تشخیص می دهد. ٧ از اعداد اعشاری برای بیان واحدهای مختلف اندازه گیری استفاده می کند. ٨ جمع تفریق و ضرب اعداد اعشاری را انجام می دهد. ٩ حاصل ضرب هایی مثل ٣/٤ ١٠٠ را بدون انجام ضرب می نویسد. ١٠ الگوهای عددهای اعشاری را ادامه می دهد. ١١ مسئله های مربوطه را حل می کند.

159 درس او ل عددهای اعشاری اهداف ١ خواندن و نوشتن عددهای اعشاری تا مرتبۀ هزارم ٢ درک روابط بین ارزش رقمهای مختلف بهخصوص از دهم به یکی ٣ نوشتن گستردۀ عدد ٤ پیدا کردن عدد تقریبی مربوط به اعشار ٥ مقایسه و مرتب کردن عددها ٦ مرتبط کردن اعداد اعشاری و کسری و عدد مخلوط ابزارهای مورد نیاز : ١ نوارهای کسری ٢ شکلهای مختلف مثل واحد لیتر و مربعهای شطرنجی روش تدریس این درس ابتدا با یادآوری عدد مخلوط و عدد اعشاری تا مرتبه دهم که درکالس چهارم بوده وارد مبحث اعداد اعشاری شده و کسر را به اعشار ارتباط می دهد. در واقع عدد اعشاری همان کسر عدد مخلوط است با این فرق که در کسر مخرج هر عددی می تواند باشد ولی در عدد اعشاری مخرج ١٠ یا توان هایی از ١٠ است و به همین دلیل آن را در جدول ارزش مکانی دهدهی می توانیم نشان دهیم. در اندازه گیری کمیت های مختلف مثل طول و سطح و حجم و گنجایش و جرم و بعضی مواقع می خواهیم اندازه ای را با واحدی مشخص بیان کنیم. مثال اندازه قد یک فرد با واحد سانتی متر ١٧٢ سانتی متر و با واحد متر ١/٧٢ متر و ٢٥٠ سی سی در واحد لیتر ٠/٢٥ لیتر بیان می شود. در این 151

160 مواقع نیاز به نمایش اعشاری اعداد داریم. در فعالیت های درس سعی شده از اندازه ها در کمیت های مختلف به عنوان نمونه استفاده شود و حساسیت های اندازه گیری و بیان دقیق اندازه ها با استفاده از اعداد اعشاری به کار رود. حل بعضی از تمرین ها تمرین ٢ به درک بزرگی و کوچکی اعداد و محدوده آنها روی محور اعداد و پیوستگی اعداد اعشاری و کسری و کمک می کند. در تمرین ٣ قسمت آخر دانش آموزان باید عددی بنویسند که از ٠/٦١ بزرگ تر و از ٠/٦٢ کوچک تر باشد. می دانیم که بین هر دو عدد بی شمار عدد دیگر می توان پیدا کرد. مثال : ٠/٦١ > ٠/٦١١ > ٠/٦١٢ > ٠/٦١٣ > ٠/٦١٤ > > ٠/٦٢ تمرین ٤ و ٥ کاربرد اعداد اعشاری در زندگی روزمره است. مثال های مشابهی در کالس بیان کنید و آنها را عمال اندازه بگیرید. عرض پاک کن ٣/٦ سانتی متر ارتفاع اتاق ٣/٤ متر دمای بدن ٣٩/٤ درجه ٠/٢٥ لیتر آب در لیوان فاصله ٣/٧٥ کیلومتر یا ٣٧/٥ کیلومتر )که البته برای دانش آموزانی که به شهر دیگر برای تحصیل می روند و یا 0/375 کیلومتر برای دانش آموزانی که مدرسه و منزلشان به هم نزدیک است.( ٢٩/٥ لیتر بنزین. توصیه های آموزشی ١ هر مرتبه ده برابر مرتبه کوچک تر از خود و یک دهم مرتبه بزرگ تر از خود است. الزم است دانش آموزان با روش های مختلف این موضوع را درک کنند. محور نمایش با شکل و یا با استفاده از کوئیزنر به این درک کمک خواهد کرد. ٢ بین هر دو عدد را می توان به ١٠ قسمت تقسیم کرد و یک مرتبه در جدول ارزش مکانی برای بیان آن ساخت. این موضوع در محوری که باز شده بهتر مشاهده می شود نمایش متحرک آن که در سایت mathsisfun قسمت اعداد اعشاری number( )decimal است را می توانید استفاده کنید. ٣ صفر جلوی اعداد اعشاری در اندازه عدد تغییری ایجاد نمی کند. لذا ٠/٣ و ٠/٣٠ و ٠/٣٠٠ برابر است. تبدیل عدد اعشاری به کسر و استفاده از کسرهای مساوی در تفهیم این مطلب کمک می کند. ادامه دادن عددها با الگو که در کتاب آمده در این راستا طراحی شده است. ٤ گسترده نویسی عدد در درک جای عدد روی محور و پیدا کردن مقدار تقریبی عدد و جمع 152

161 و تفریق مؤثر است. با انجام مسابقه و فعالیت های عملی این موضوع را بسط دهید. از کارت های رنگی مخصوص هر مرتبه و ساختن اعداد با کارت و وسایل مشابه می توانید استفاده کنید. ٥ در مواردی مثل ٠/٢٥ و ٢٠/٠٥ که خواندن یکسانی دارند از اصطالح بیست واحد و پنج صدم برای ٢٠/٠٥ استفاده کنید. بدفهمی های رایج گاهی دانش آموزان فکر می کنند عدد اعشاری عدد نیست و آنها را جزو اعداد دیگر به حساب نمی آورند. ارتباط اعداد اعشاری و کسری و عدد مخلوط و عدد معمولی )به رقم و به حروف( و نمایش همه با هم روی محور و مقایسه همه نوع از این اعداد باهم در پیوستگی این فهم کمک می کند. گاهی فکر می کنند قسمت اعشار عدد و قسمت صحیح از هم جداست.اگر ارتباط مرتبه های اعداد در جدول ارزش مکانی مخصوص ارتباط مرتبه دهم و مرتبه یکی خوب برقرار شده باشد کمتر دچار این مشکل خواهند شد. با استفاده از شکل و کوئیزنر و ادامه دادن اعداد روی این موضوع تمرین کنید. گاهی هرچه ارقام عدد بیشتر باشد فکر می کنند عدد بزرگ تر است و به مرتبه عدد توجه ندارند مثل: ٣/٧ > ٣/٦٩٨ ابتدا از دانش آموزان بخواهید اعداد را در جدول ارزش مکانی بگذارند و بعد مقایسه کنند. می توانند به جای رقم های صدم و هزارم در عددی مثل ٣/٧ رقم صفر قرار بدهند تا متوجه مقدار عدد بشوند. کم کم بدون جدول این کار را انجام دهند. گاهی دانش آموز متوجه نیست که تمام اعدادی که فقط ارقام اعشاری دارند مثل ٠/٣٧٥ از صفر بزرگ تر و از یک کوچک ترند و روی محور جایی بین صفر و یک قرار خواهند گرفت و فکر می کنند این عدد خیلی بزرگ است. مثال هایی از اشتباه های دیگر: = ٤/٦٣ ٤/٠٦٣ = ٠/١٠٠ یک صدم = ٠/٧ = ١/٣٥ ٠/٥٤ = ٠/٥٤٤ ٠/٠٢٣=٠/٢٣=٢٣ ٤/٨ < ٤/٦٣ ٤/٠٨٥ > ٤/٦٣ ٤/٦٣٠ > ٤/٦٣ 153

162 درس دوم جمع عددهای اعشاری اهداف 1 جمع کردن اعداد اعشاری تا مرتبۀ هزارم 2 توجه به جمع کردن اعداد هم مرتبه با هم 3 آشنایی با روشهای مختلف جمع کردن )فقط در حد آشنایی( 4 تقریب زدن قبل از محاسبه و مقایسه حاصل تقریبی و دقیق برای مطمئن شدن از حاصل دقیق 5 استفاده از مهارت جمعکردن در حل مسائل روزمره ابزار مورد نیاز : واحدهای مختلف مثل مربعهای شطرنجی روش تدریس این فعالیت با پرداختن به مسائلی که جمع راه حل آنهاست و حل کردن مسئله به روش های مختلف به انواع بازنمایی عملیات جمع می پردازد جمع کردن روی محور و یک واحد یک واحد به عدد قبلی اضافه کردن گسترده دیدن عدد دومی و مسئلۀ او ل: جمع کردن روی محور عدد او لی را می سازیم )روی محور جلو می رویم(. گسترده عدد دومی را درنظر داریم و ابتدا یک واحد یک واحد یک واحد روی محور جلو می رویم و بعد به اندازه رقم مرتبه کوچک تر جلو می رویم به هر جا رسیدیم حاصل است. مسئلۀ دومی: عدد او لی را داریم گسترده عدد دومی را درنظر می گیریم. از مرتبه های کوچک تر شروع می کنیم و به عدد او لی اضافه می کنیم و به حاصل مرتبه بعدی و بعدی را اضافه می کنیم. 154

163 مسئلۀ سومی: عدد او لی را داریم گسترده عدد دوم را در نظر می گیریم این بار برعکس دفعه پیش از مرتبه های بزرگ تر به عدد او لی اضافه می کنیم و مرتبه به مرتبه جلو می رویم. روش اخیر این مزیت را دارد که در مواردی که می خواهیم حدود جواب را بدانیم با یک عملیات به حاصل جمع واقعی نزدیک تر می شویم. در نهایت همه اعداد را در جدول ارزش مکانی می نویسیم و از مرتبه کوچک تر همه را با هم جمع می کنیم. هدف از این فعالیت این نیست که دانش آموز به تمام روش های مطرح شده تسل ط پیدا کند بلکه با انواع روش ها فقط آشنا شود و در خالل آن به لزوم جمع و یا تفریق کردن اعداد هم مرتبه با هم و در صورت لزوم انتقال به مرتبه بعدی برسد. در کار در کالس دانش آموزان باید به جدول ارزش مکانی تسلط داشته باشند و خودشان اعداد را در جدول و سپس بدون جدول حل کنند یکی از اهداف ضمنی طرح مسئله های مرتبط به بنزین در این درس ها ایجاد نگرش استفاده از وسایل حمل و نقل عمومی و صرفه جویی در مصرف بنزین است که خود مزایای متعددی دارد. حل بعضی از تمرین ها در تمرین 2 عالوه بر مهارت جمع کردن پیدا کردن حدود جواب مدنظر قرار گرفته با توجه به اینکه 1/99 به 2 خیلی نزدیک است حاصل تقریبا = 8 2 * 4 واحد به عدد او ل اضافه می شود. تمرین 4 را می توان بسط داد و بازی های مشابه در کالس انجام داد: / / / 110 بزرگ ترین عدد کوچک ترین عدد یکی از توانمندی های دانش آموزان خواندن اعداد در وسایل مدرج است که در تمرین آخر به آن پرداخته شده خوب است دانش آموزان با واحدهای مختلف و اندازه های مختلف تمرین های مشابهی در این زمینه انجام دهند

164 توصیه های آموزشی با مثال های متنوع انتقال از دهم به یکی را تمرین کنید و سپس انتقال از صدم به دهم و از هزارم به صدم. دانش آموزان می توانند با رنگ کردن و با ابزارهایی مثل کوئیزنر این کار را عمال تجربه کنند. جمع ذهنی را تمرین کنید. خوب است هر دانش آموز مسیر فکری خود را برای جمع کردن در کالس بیان کند. در مواقعی که اعداد مرتبه صدم و یا هزارم ندارند و با اعدادی که این مرتبه ها را دارند جمع می شوند توجه شود که دانش آموزان اعداد هم مرتبه را با هم جمع کنند و برای راحتی کار می توانند در رقم صدم و یا هزارم دسته او ل صفر بگذارند. قبل از جمع کردن حدود اعداد را با حذف ارقام اعشاری پیدا کنند و حاصل تقریبی را به دست آورند که اگر درجاگذاری رقم ها در مرتبه ها اشتباه کردند به این وسیله متوجه شوند. خوب است از دانش آموزان پرسیده شود که 11/91 به 11 نزدیک تر است یا 12 و در نتیجه 12 تقریب بهتری خواهد بود. بدفهمی های رایج یکی از بدفهمی ها عدم انتقال حاصل جمع دهم ها به یکان است. 5/ / 6 / 13 اگر دانش آموز مرتبه های اعشاری را جدا از مرتبه های دیگر ببیند این مشکل به وجود می آید. تأکید ارتباط این مرتبه ها در حل این مشکل کمک می کند. کارهای عملی و محاسبات ذهنی می تواند در رفع آن مؤثر باشد. گاهی هم دانش آموزان ارقام اعداد را در جای درست قرار نمی دهند و هنگام جمع بدون توج ه به مرتبه ها جمع می کنند. از آنها بخواهید ابتدا اعداد را زیر هم و در جدول ارزش مکانی جمع کنند تا کم کم مشکل رفع گردد. 9/32 + 4/6 = 9/78 156

165 درس سوم تفریق اعشار اهداف 1 تفریق اعداد اعشاری تا مرتبۀ هزارم 2 توجه به مرتبههای اعداد هنگام تفریق 3 آشنایی با روشهای مختلف تفریق 4 تقریب زدن قبل از محاسبه و مقایسۀ حاصل تقریبی و دقیق برای مطمئن شدن از حاصل دقیق 5 استفاده از مهارت تفریق در حل مسائل روزمره ابزار مورد نیاز : واحدهای مربع شطرنجی و امثال آن روش تدریس مشابه درس جمع دانش آموزان با روش های مختلف تفریق آشنا می شوند. الزم نیست دانش آموزان به همه این روش ها تسلط پیدا کنند و درنهایت به یک روش مسلط شوند و عملیات جمع یا تفریق را به درستی و سریع انجام دهند کافی است. در خالل روش های مختلف جمع و تفریق ضمن آشنا شدن با راه های متفاوت آنها هم می توانند روشی را خود ابداع کنند و درستی آن را امتحان کنند. خوب است دانش آموزان تشویق شوند که مسیر فکری خود را برای خود و دیگران بیان کنند تا هم خودشان متوجه فکرهای خود شوند و هم دیگران از فکرهای متفاوت از خودشان و راه های دیگر باخبر شوند. در ضمن در اکثر مواقعی که دانش آموزان دچار مشکل هستند وقتی معل م آنها را هدایت می کند که فکرهای خود را بلند بیان کنند مشکل شان خود به خود حل می شود. و در مواردی هم که حل نمی شود معلم متوجه گره کار می شود. در انواع روش های مختلف تأکید بر جمع و تفریق ارقام هم مرتبه ضروری است. 157

166 حل بعضی از تمرین ها در تمرین آخر تمام زمان اعضای گروهها که واحد ثانیه دارند را جداگانه جمع و اختالف این دو زمان را پیدا میکنیم. )در اندازهگیری زمان مسابقات معموال تا صدم ثانیه را هم حساب میکنند.( ثانیه =57/75 20/ / / /45 گروه تالش ثانیه = 56/23 18/5 + 12/ /2 + 15/17 گروه امید اختالف زمان ثانیه = 1/52 56/23-57/75 توصیه های آموزشی از دانش آموزان بخواهید مسیر فکری خود را هنگام تفریق بیان کنند. تا جایی که ممکن است مهارت محاسبات ذهنی آنها را تقویت کنید و با بازی و مسابقه روی سرعت محاسبات کار کنید. دانش آموزان می توانند از جدول ارزش مکانی برای عملیات استفاده کنند. ولی در نهایت باید بتوانند بدون جدول هم محاسبه کنند. از دانش آموزان بخواهید در گروه های خود روشی جدید برای عملیات جمع یا تفریق ابداع کنند و درستی آن را امتحان کنند. اگر دانش آموزان گسترده عدد را در ذهن داشته باشند عملیات را راحت تر انجام خواهند داد. روی آخرین سؤال کار در کالس وقت بگذارید و پاسخ های متفاوت از دانش آموزان بخواهید. این موضوع درک بی شمار بودن و این که اعداد اعشاری که فقط رقم اعشاری دارند بین صفر و یک هستند را توسعه می بخشد. بدفهمی های رایج ممکن است دانش آموزان مرتبه ها را در عملیات درنظر نگیرند. اگر قبل از محاسبه حدود جواب را حدس بزنند در پیشگیری از محاسبات غلط مؤثر خواهد بود. در مواقعی که رقم های اعشاری عدد دوم از عدد او لی بیشتر است دانش آموزان می توانند به جای رقم های صدم و یا هزارم صفر بگذارند و سپس عملیات را انجام دهند: 2/ 3 1/ / / / 158

167 درس چهارم ضرب اعشار اهداف 1 ضرب اعداد اعشاری تا مرتبۀ هزارم 2 تسلط بر قانون ضرب اعدادی مثل 10 و ١٠٠ و در اعداد اعشاری 3 ارتباط اعداد کسری و اعشاری 4 تقریب زدن حدود حاصلضرب 5 بهکارگیری مهارت ضرب در حل مسائل مربوطه ابزار مورد نیاز : ماشینحساب روش تدریس در این درس دانش آموزان با استفاده از جمع و ارتباط آن با ضرب پاسخ سؤاالت را به دست می آورند و به روش استقرایی با توجه به رقم های اعشاری عامل های ضرب و رقم های اعشاری حاصل ضرب به قانون آن پی می برند و سپس اعداد اعشاری را به کسر تبدیل و حاصل ضرب را به دست می آورند و با تبدیل دوباره آن به اعداد اعشاری صح ت قاعده ای که در قسمت قبل به دست آوردند را تجربه می کنند. در فعالیت بعدی یکی از عامل های ضرب اعداد صفردار مثل 10 و 100 و 200 و هستند که در اعداد اعشاری ضرب می شوند. دانش آموزان حاصل این ضرب ها را با ماشین حساب پیدا می کنند و به روش استقرایی متوجه تأثیر صفرعامل های ضرب در جای ممیز حاصل ضرب می شوند. بعد از این قانون استفاده می کنند و ضرب های دیگر را انجام می دهند. 159

168 حل بعضی از تمرین ها تمرین 4 به این هدف طراحی شده که دانش آموزان موضوع زیر را فقط ببینند. هر عدد را در عددی کوچک تر از یک ضرب کنیم حاصل از عدد او ل کوچک تر می شود. b > 1 a. b = ab ab < a > 1 0/3 : مثال 5 *0/3 = 1/5 1/5 > 5 > 1 3 : 2 مثال دیگر 1 2 * 2 3 = > 1 2 هر عدد را در عددی بزرگ تر از یک ضرب کنیم حاصل از عدد او ل بزرگ تر می شود. b < 1 a. b = ab ab > a < 1 1/5 : مثال 5 * 1/5 = 7/5 7/5 < 5 < 1 3 : 4 مثال دیگر 1 2 * 4 3 = < 1 2 و بدیهی است که اگر عددی را در یک ضرب کنیم نه کوچک می شود و نه بزرگ و خود همان عدد می شود. 5*1 = 5 دانش آموزان معموال این تصور را دارند که اگر عددی را در عددی ضرب کنیم حاصل بزرگ تر می شود و نمی توانند بپذیرند که ضرب می تواند باعث کوچک شدن عدد هم بشود. آنها معموال از ضرب مفهوم چند برابر شدن را درک می کنند. 160

169 با استفاده از نشان دادن ضرب روی مساحت به درک درست از ضرب می توانیم کمک کنیم. از دانش آموزان توانمندتر بخواهید ابتدا سطح * 1 1 را بکشند و سپس ضرب های زیر را به ترتیب روی شکل نشان دهند. و از آنها بخواهید در مورد تأثیر عامل ضرب در حاصل ضرب فکر کنند /۵ 1 0/۵ 1 0/۵ 0/۵ 0/۵ در تمرین 7 در واقع اعداد بسیاری می توان پیدا کرد که حاصل ضرب 0/36 داشته باشند. این سؤال عالوه بر تمرین روی عامل های ضرب و جای ممیز در حاصل ضرب و تأثیر عامل های صفردار روی حاصل ضرب به هدف داشتن تصور درستی از 0/36 مترمربع طراحی شده است. برای این کار اندازه های عامل های ضرب با تأکید بر واحد هر کدام باید مشخص شوند مثال : 0/36 مترمربع = 0/6 متر * 0/6 متر یعنی مربعی به ضلع 60 سانتی متر که می تواند سطح یک میز یک نفره باشد = 0/36 6 متر * 0/06 متر این اندازه هم می تواند درست باشد ولی باید چیزی پیدا کنیم که عرض 6 سانتی متر و طول 6 متر داشته باشد. و این باید چیزی به عرض 4 میلی متر و طول 90 متر باشد! 90*0/004=0/36 وقتی از دانش آموزان بخواهیم برای اندازه هایی که انتخاب کردند یک مثال واقعی بزنند این فرصت را به آنها می دهیم تا در مورد اندازه های واقعی و ارتباط آن با اعشار فکر کنند و کم کم تخمین بهتری از اندازه ها داشته باشند. پس از آموزش درس حجم می توانید با سؤاالتی مشابه دانش آموزان را به این نکته متوجه کنید که برای حجم حتما باید سه تا عدد داشته باشیم و آنها الزم است 3 تا اندازه طولی را تخمین بزنند که حاصل ضربی مثال برابر 0/36 متر مکعب داشته باشد. 161

170 در تمرین 8: مثال: 0/2*2=0/4 3/6*2=7/2 0/1*4=0/4 0/36*20=7/2 0/001*400=0/4 0/9*8=7/2 توصیههای آموزشی قبل از شروع درس ارتباط جمع و ضرب را یادآوری کنید. همچنین دانشآموزان به کلمههای عامل ضرب و حاصلضرب کامال واقف باشند. میتوانید از ماشینحساب کمک بگیرید و مثالهای متفاوتی از ضرب عددهای اعشاری کار کنید. خودتان را به حاصلضربهایی محدود نکنید که فقط تا مرتبه هزارم دارند. سعی کنید تعداد رقمهای اعشاری عاملهای ضرب را هر بار تغییر دهید. توجه دانشآموزان را به ارتباط تعداد رقمهای اعشاری حاصلضرب و تعداد رقمهای اعشاری عاملهای ضرب جلب کنید. = 0/474 0/2 * 2/37 مثال 3 رقم 1 رقم 2 رقم 237 * 0/002 = 0/474 3 رقم 3 رقم 0 رقم 23/7 * 0/02 = 0/474 3 رقم 2 رقم 1 رقم از دانش آموزان بخواهید مثال هایی که کار کردید را به کسر تبدیل کنند و حاصل کسری را دوباره به اعشار تبدیل کنند. و از آنها در مورد تعداد رقم های اعشاری حاصل ضرب و عامل های ضرب سؤال کنید = = = 0 / = = 0/ = = = 0 /

171 پس از به دست آوردن قانون ضرب و تسلط کامل مثال هایی بدهید که سمت راست ترین رقم یکی از عامل ها ٥ و سمت راست ترین رقم عامل دیگر 2 یا 4 یا 6 یا 8 باشد. دانش آموزان توجه کنند که صفر به دست آمده هم یکی از رقم های اعشاری حاصل ضرب است. 0/35 * 0/4 = 0/140 3 رقم 1 رقم 2 رقم 0/200 * 0/40 = 0/ رقم 2 رقم 3 رقم و مثال هایی چون: و 0/2 * 0/4 = 0/08 2 رقم 1 رقم 1 رقم 163 0/08000=0/08 و 0/40=0/4 و =0/2 0/200 در آموزش فعالیت بعدی نیز دانش آموز می تواند با استفاده از ماشین حساب ضرب ها را انجام دهد و به ارتباط صفرهای عامل ضرب و تأثیر آن در جای ممیز حاصل ضرب پی ببرد. در این قسمت هم پس از تسلط کامل مثال هایی نظیر = /0 = 200 * 0/5 را کار کنید. 1 رقم 1 رقم و توجه دانش آموزان را به صفرهای حاصل ضرب و تعداد رقم های اعشاری جلب کنید. از دانش آموزان بخواهید همانند درس ضرب کسرها اعداد اعشاری را نیز روی مساحت نمایش دهند. 2/4 * 1/7 2/ 4 1/ / 0/ 4 + 0/ 28 4 / 08 2 * 1 2 * 0/7 0/4 * 1 0/4 * 0/7

172 * * 2/4 * 1/7 = )2 * 1( + )2 * 0/7( + )0/4 * 1( + )0/4 * 0/7( * = 2 + 1/4 + 0/4 + 0/28 = 4/08 برای دانش آموزان توانمندتر می توانید به این نکته اشاره کنید که چون 2/4 بین 2 و 3 است و 1/7 بین 1 و 2 است پس حاصل ضرب بین 2 و 6 است: 2 > 2/4 > 3 1 > 1/7 > 2 2 * 1 = 2 > 2/4 * 1/7 > 2 * 3 = 6 و این موضوع از روی شکل پیداست. همچنین دانش آموزان توانمندتر می توانند به نکته ای که در قسمت»حل بعضی از تمرین ها«گفته شد بپردازند. بدفهمی های رایج گاهی دانش آموزان فکر می کنند تعداد رقم های اعشاری دو عامل ضرب را باید درهم ضرب کنند و در حاصل ضرب تأثیر بدهند. هنگام تدریس به این نکته توجه کنید که تعداد رقم های اعشاری عامل های ضرب با هم جمع می شود. در مواردی که سمت راست ترین رقم عامل های ضرب 5 و اعداد زوج هستند توجه کنند که صفر حاصل ضرب را در تعداد رقم ها به حساب بیاورند. گاهی دانش آموزان فکر می کنند با عمل ضرب همیشه حاصل ضرب بزرگ تر می شود که در قسمت»حل بعضی از تمرین ها«به این موضوع اشاره شد. 164

173 6 اندازه گیری نگاه کلی به فصل این فصل شامل 4 درس است. در درس او ل مساحت لوزی و ذوزنقه در قالب فعالیت معرفی خواهد شد درس دوم به اندازهگیری محیط دایره اختصاص یافته و ضمن آن عدد π به دانشآموزان معرفی میشود. درس سوم به معرفی حجم اختصاص داده شده است. در این درس مفاهیم بقای حجم ضرورت نیاز به واحد دقیق برای اندازهگیری حجم اجسام و در نهایت دستور محاسبه حجم مکعب مستطیل ارائه میشود و از دانشآموز انتظار میرود حجم شکلهای ترکیبی را نیز بتواند محاسبه کند. درس پایانی این فصل به مفهوم گنجایش پرداخته و در واقع جمعبندی از مفاهیم مربوط به گنجایش که در پایههای تحصیلی پیشین مطرح شده است ارائه میشود. در این فصل واحدهای اندازهگیری لیتر و سی سی )میلیلیتر سانتیمتر مکعب( معرفی میشود و توصیه میشود واحدهای دیگر اندازهگیری مثل مترمکعب مطرح نشود. 165

174 شبکه مفهومی واحد اندازه گیری حجم جامدات قانون بقای حجم محاسبه مساحت لوزی به کمک مساحت دستور کلی مثلث حجم شکل های ترکیبی حجم مکعب مستطیل حجم اندازه گیری مساحت مساحت لوزی لیتر محیط دایره مساحت ذوزنقه میلی لیتر واحد اندازه گیری حجم مایعات گنجایش آشنایی با عدد π مساحت شکل های ترکیبی محاسبه طول ربع دایره محاسبه طول نیم دایره محاسبه محیط شکل های ترکیبی تصویر عنوانی هدف از صفحه عنوانی جلب توجه دانش آموز به محیط اطراف و اشاره به مظاهری از کاربرد ریاضیات در طبیعت پیرامونی یا دست سازه های بشر است. با این هدف که دانش آموز ریاضیات را چیزی بیگانه از زندگی نداند. از طرف دیگر سعی مؤلفین این کتاب بر این بوده است که در تنظیم محتوا نگاهی جامع به سراسر کشور داشته باشند. لذا صفحه عنوانی به معرفی میدان امام همدان به عنوان یکی از آثار ملی اختصاص یافت. طراحی این میدان به شکل دایره با 6 خیابان منشعب از آن است و به همین لحاظ نماد شهرسازی مدرن قلمداد شده است. معماری این میدان بسیار شبیه به میدان حسن آباد تهران است. 166

175 درس او ل مساحت لوزی و ذوزنقه اهداف 1 ذوزنقه و لوزی را بشناسد و بتواند در اطراف خود به نمونههایی از آن اشاره کند. 2 فرمول محاسبه مساحت لوزی را بداند. 3 بتواند مساحت لوزی را با داشتن اندازه قطرها محاسبه کند. 4 فرمول محاسبه مساحت ذوزنقه را بداند. 5 بتواند مساحت ذوزنقه را با داشتن اندازۀ قاعدهها و ارتفاع محاسبه کند. 6 بتواند مساحت شکلهای ترکیبی را محاسبه کند. 7 قانون بقای مساحت را بداند و بتواند از آن استفاده کند. ابزارهای مورد نیاز : 1 کاغذ رنگی 2 قیچی روش تدریس فعالیت او ل فقط به قصد ایجاد انگیزه و جلب توجه دانش آموز به محیط اطراف و تأکید بر کاربرد اشکال هندسی در زندگی روزمره است. در تصویر میانی اشاره دانش آموز به لوزی یا متوازی االضالع هر دو صحیح است. فعالیت دوم در واقع پیش نیاز فعالیت 3 است. به این معنا که ویژگی های چهارضلعی ها مرور می شود و بر ویژگی عمودمنصف بودن قطرها در لوزی تأکید می شود. چرا که در فعالیت 3 محاسبه مساحت لوزی بدون درنظر داشتن این ویژگی ممکن نخواهد بود. در فعالیت 3 هدف این است که مساحت لوزی به کمک مساحت شکل هایی که پیش از این 167

176 دانش آموز با مساحت آن آشناست محاسبه شود و رسیدن به دستور کلی محاسبه مساحت لوزی مدنظر نیست. در این روش با رویکرد استفاده از راهبردهای چندگانه مساحت لوزی به کمک تقسیم آن به چهار مثلث تقسیم به دو مثلث باالیی و پایینی و تقسیم به دو مثلث چپ و راست قابل محاسبه است. این فعالیت فهم عمیق را مدنظر دارد و فعالیت 4 به جهت دستیابی به سرعت در محاسبات طراحی شده است. در این کتاب سعی شده است بین آموزش رویه ای و آموزش مفهومی تعادل برقرار باشد. در فعالیت 4 محاسبه دستور کلی مساحت لوزی به کمک مساحت مستطیل آموزش داده می شود و در پایان به جهت سهولت مطالعات بعدی برای دانش آموز هدف کلی این درس )دستور کلی محاسبه مساحت لوزی( داخل کادر پایین صفحه ارائه شده است. فعالیت بعدی با روش مشابه محاسبه دستور کلی مساحت ذوزنقه را درنظر دارد و انتظار می رود دانش آموز با کمک معلم و دوستانش بتواند با پرکردن جاهای خالی به دستور کلی دست پیدا کند. حل بعضی تمرین ها ۵ کار در کالس صفحه 108 : روش او ل مساحت مربع + مساحت ذوزنقه = مساحت شکل = ( 5+ 4) یا = 29/ /5 = 5 * ٤ ۵ ۵ 1 : روش دوم مساحت مستطیل + مساحت ذوزنقه = مساحت شکل * 6 = 5/ = 29/5 = ( ) 2 ۵ 6 ۵ 6 1 ٤ 6 168

177 تمرین 1 صفحه 109: ایده این تمرین برگرفته از مطالعات تیمز است. محاسبه ساق ذوزنقه و قاعده بزرگ آن با توجه به شکل ها قابل محاسبه است. ساق ذوزنقه با توجه به شکل او ل و سوم با ضلع مربع یکی است و لذا 2 سانتی متر است و قاعده بزرگ ذوزنقه با توجه به شکل میانی دو برابر ضلع مربع و 4 است. مساحت تمامی شکل ها با هم برابر است و نیازی به محاسبه نیست )قانون بقای مساحت( ولی محیط شکل ها با هم متفاوت است. = 18 2 * 9 = محیط شکل نیما = 14 2 * 7 = محیط شکل ایمان = 18 2 * 9 = محیط شکل امین تمرین 3: این مسئله جزء مسائل باز پاسخ است که با منظورکردن اعداد کسری و اعشاری بی نهایت جواب دارد لذا برای راحتی محاسبات پاسخ را به 3 مورد محدود کرده ایم. مثال : }4 و 3{ یا 12{ و }1 یا 6{ و }2 تمرین 4: در این فعالیت محاسبه مساحت دیواره استخر مدنظر است. فقط یک دیواره و آن هم ذوزنقه ای است که در تصویر کتاب مشخص است. برای محاسبه بهتر است ابتدا اندازه ها برحسب سانتی متر نوشته شود که برای پاسخ گویی به قسمت )ب( مشکلی پیش نیاید. به این ترتیب: 3000 ) 500 ( =مساحت دیواره = 50 = مساحت هر کاشی لوزی شکل 2 = ۵ کاشی الزم است. = تعداد کاشی الزم تمرین 5: با توجه به رنگ ها در شکل میانی مساحت دو ذوزنقه چپ و راست و همین طور مساحت دو ذوزنقه باالیی و پایینی برابر است. همین طور در شکل سمت راست همرنگ بودن لوزی ها به این معناست که مساحت آنها با هم یکی است. بنابراین مساحت کل شکل 8 برابر مساحت یکی از لوزی ها خواهد بود. 169 = ( * )3 = مساحت لوزی = 12 2 * 3 8 = مساحت کل شکل

178 تمرین 6: با توجه به شکل قطر کوچک لوزی با عرض نوار مستطیلشکل برابر و 5cm است. قطر بزرگ لوزی 1 طول نوار مستطیلشکل و لذا 8 سانتیمتر است. 5 روش 1: این مسئله میتواند با محاسبه مستقیم حل شود. = ( * )5 = مساحت یک لوزی = 100 *5 20 = مساحت تمام لوزی ها نصف مساحت نوار رنگ شده است. 200 = 5 * 40 = مساحت مستطیل روش 2: به کمک فعالیتی که برای پیداکردن دستور مساحت لوزی انجام شد مساحت هر لوزی نصف مستطیلی است که در آن احاطه شده است. پس مساحت کل قسمت رنگی نصف مساحت نوار است. روش 3: به کمک شمارش قسمت های رنگی همین پاسخ به دست خواهد آمد. بدفهمیها را برای ذوزنقه به رسمیت میشناسند لذا در این معموال دانشآموزان فقط شکل به دانشآموزان و درس سعی شده است ذوزنقه در انواع شکلهای آن اعم از معرفی شود. به همین لحاظ در فعالیت 2 هم ذوزنقه در حالت کامال کلی ارائه شده است. )متساویالساقین یا قائمالزاویه نیست(. 170

179 درس دوم محیط دایره اهداف 1 تمام اجزاء دایره را بشناسد. 2 فرمول محیط دایره را بداند و بتواند محیط دایره را محاسبه کند. 3 با عدد π تا دورقم اعشار آشنا شود. 4 بداند که افزایش و کاهش اندازۀ شعاع افزایش و کاهش محیط را موجب میشود. 5 مفهوم نیمدایره و ربع دایره را بداند. 6 بتواند محیط شکلهای ترکیبی را محاسبه کند. 7 کار با ابزار هندسی نظیر خطکش و پرگار را بداند. روش تدریس شروع درس با ارائه فعالیتی است که با زندگی روزمره ارتباطی نزدیک دارد و عالوه بر آن مرور و یادآوری یادگیری های قبلی دانش آموز در مورد دایره مدنظر است. هدف فعالیت شماره 2 نیز این است که دانش آموز متوجه شود با افزایش تعداد اضالع چند ضلعی محاط داخل دایره اندازه محیط چندضلعی به محیط دایره نزدیک تر می شود. در فعالیت 3 پس از مرور اجزاء دایره هدف ابتدا آشنایی با مقدار عدد π است و در نهایت به کمک جدول ارائه شده و اندازه های داخل آن و به کمک استفاده از ماشین حساب و تقسیم محیط دایره بر قطر آن انتظار می رود دانش آموز به عدد تقریبی 3 اشاره کند. در نهایت معلم مقدار دقیق تر این عبارت یعنی 3/14 را به عنوان عدد π به دانش آموزان معرفی می کند. با مقایسه ستون دوم و سوم جدول انتظار می رود فرمول محیط دایره توسط دانش آموزان و با همکاری معلم قابل دستیابی باشد. قسمت )ت( این فعالیت به این منظور طراحی شده است که دانش آموز متوجه شود تغییر واحد 171

180 اندازه گیری از 2 سانتی متر به 2 متر محیط را از سانتی متر به متر تبدیل می کند و محاسبه مجدد محیط دایره ضرورتی ندارد. حل برخی تمرین ها کار در کالس 1 صفحه 111: دانش آموز برای اندازه گیری قطر اجسام دایره ای اطراف خود نیاز به کمک دوستان و معلم دارد. برای مثال نیاز دارد متوجه شود خط کش را آن قدر روی لبه لیوان جابه جا کند که بیشترین اندازه را به قطر نسبت دهد. فعالیت صفحه 111: هدف این است که به کمک عقربه های ساعت و مفاهیم نیم ساعت و ربع ساعت نیم دایره و ربع دایره در ذهن دانش آموز مفهوم عمیق تری پیدا کند. کار درکالس صفحه 112: برای پیدا کردن محیط شکل های ترکیبی جهت فلش ها نشان دهنده تأکید بر این مطلب است که در محاسبه محیط حرکت از یک نقطه آغاز شده و به همان نقطه بازخواهیم گشت. عالوه بر این تقویت گفتمان ریاضی هم مدنظر است و تأکید بر این است که دانش آموز ابتدا به زبان خود اندازه خط های الزم را بنویسد و بعد به محاسبه بپردازد. برای مثال محیط شکل سمت راست: شعاع دایره بزرگ + نصف محیط دایره کوچک + نصف محیط دایره بزرگ = محیط شکل = ( 10 3 ) = /5 + 5 = 27/5 تمرین 3 صفحه 112: محیط شکل سمت چپ: 3 4 از محیط دایره + شعاع + شعاع = محیط شکل = )20 * 3( * 3 = = 65 4 در تمرینهایی که الزم است مقدار عدد π برابر 3 درنظر گرفته شود این مطلب داخل پرانتز ذکر شده است. در بقیه تمرینها پیشنهاد میشود مقدار π برابر 3/14 منظور شود. بدفهمیها مهمترین بدفهمی این فصل به محاسبه محیط برمیگردد. الزم است با ارائه تمرینهای مناسب تفاوت محیط شکلهای زیر برای دانشآموز مشخص شود.بهطور مثال محیط برابر است با نصف محیط دایره و محیط شکل برابر است با نصف محیط دایره + طول قطر دایره. 172

181 درس سوم حجم اهداف 1 قانون بقای حجم را بداند و بهکارگیرد. )حجم یک شکل با تغییر شکل ظاهری آن تغییر نمیکند.( 2 بتواند حجم شکل را با داشتن واحدهای مختلف محاسبه کند. 3 واحد اندازهگیری حجم جامدات )سانتیمتر مکعب( را بداند. 4 فرمول حجم مکعب مستطیل را بداند و آن را در حل مسائل بهکارگیرد. 5 حجم یک مکعب مستطیل را با داشتن اندازۀ ابعاد آن در حالت گسترده نیز محاسبه کند. 6 حجم شکلهای ترکیبی را محاسبه کند. 7 بتواند حجم شکلهای مختلف را تخمین بزند. روش تدریس تمام فعالیت های این قسمت ناظر به مفهوم بقای حجم است که مطالعات روان شناسی سن 11 سال را برای مواجهه و فهم آن مناسب دانسته اند. هدف این است که دانش آموز بداند چیدمان متفاوت تعداد مشخصی مکعب حجم متفاوتی را برای شکل حاصل نخواهد داشت و حجم کلی یک شکل با تغییر شکل ظاهری آن عوض نمی شود. در این فعالیت سعی شده است از مثال هایی که با زندگی روزمره دانش آموزان عجین است استفاده شود. این فعالیت به جامدات صلب توپر اشاره دارد و لذا اجسام کشسانی و گازها موردنظر این فعالیت نیست. 173

182 به معلمان پیشنهاد می شود در صورت ناکافی دانستن این مثال ها برای دانش آموزان مثال های بیشتری ارائه کنند. در فعالیت صفحه 114 هدف این است که دانش آموزان ابتدا با محاسبه حجم شکل با دو واحد متفاوت در شماره 1 به دو اندازه متفاوت دست پیدا کنند تا لزوم وجود واحد استاندارد را حس کنند. لذا واحد سانتی متر مکعب به دانش آموزان معرفی می شود. در فعالیت شماره 2 هدف این است که در قالب یک جدول تفاوت کاربری واحدهای مختلف اندازه گیری مثل سانتی متر / متر لیتر و سانتی مترمکعب برای دانش آموز دسته بندی و منظم شود. در فعالیت 3 محاسبه حجم جامدات منظم مدنظر است و برای شروع مکعب مستطیل انتخاب شده است. در این فعالیت به کمک راهبردهای چندگانه حجم مکعب مستطیل به 3 طریق اندازه گیری می شود و هدف این است که در پایان دانش آموز بتواند به دستور کلی محاسبه حجم مکعب مستطیل دست پیدا کند. در فعالیت صفحه 115 نیز دانش آموز برای پیدا کردن حجم شکل مرکب با روش های متفاوت مواجه می شود. در روش او ل شکل با رسم خط افقی به دو مکعب باالیی و پایینی تقسیم شده است در روش دوم حجم شکل به شکل مجموع حجم دو مکعب مستطیل سمت چپ و راست محاسبه شدنی است و در روش سوم با کم کردن حجم فضای خالی از حجم مکعب مستطیل کامل شده حجم قسمت رنگی محاسبه می شود. در ادامه فعالیت از دانش آموزان خواسته شده است که راه حل دیگری پیشنهاد بدهند. می توان با رسم خط افقی و عمودی شکل را به 3 مکعب مستطیل تبدیل کرد و حجم را محاسبه کرد. دقت شود که استفاده از فرمول کلی»مساحت قاعده * ارتفاع«جزء اهداف آموزش این کتاب نیست. حل برخی تمرینها کار در کالس صفحه 115: در تمرین 1 در دو مکعب او ل و سوم اندازهها یکی است. هدف این است که تأکید شود تغییر شکل جسم تغییر حجم آن را نتیجه نمیدهد. 174

183 کار در کالس صفحه 126 حجم مکعب مستطیل داخلی - حجم مکعب مستطیل بیرونی = حجم شکل رنگی = 2 * 5 * 8-4 * 3 * 2 = سانتیمترمکعب = = ٤ ۸ ۵ در تمرین 1 قسمت )پ( بهتر است دانشآموز با انجام قسمت الف و ب متوجه این نکته شود که حجم ده کتاب هماندازه روی هم 10 برابر حجم کتاب او ل است و نیازی به محاسبه نیست. هر چند محاسبه هم اشکالی ندارد. در تمرین 2 هدف این است که ارتباط ریاضی با زندگی روزمره نشان داده شود. انتظار این است که در نگاه او ل دانشآموز حجم مکعبمستطیل را بیشتر از حجم مکعب تخمین بزند. اما بعد از محاسبه متوجه خواهد شد که حجم دو شکل برابر است. برای قسمت آخر این سؤال ممکن است دانشآموزی مکعبمستطیل را انتخاب کند با این استدالل که حجم آن بیشتر بهنظر میآید و مشتری را بیشتر جلب میکند.این استدالل بیشتر هدف این کتاب را تأمین میکند. ولی این امکان هم وجود دارد که دانشآموز مکعب مستطیل را انتخاب کند به این دلیل که جعبه برای پودر لباسشویی درنظرگرفته شده و لذا در دست گرفتن آن سادهتر از مکعب است که باز هم پاسخ صحیح است. این احتمال هم وجود دارد که به هر دلیل قابل قبولی دانشآموز مکعب را انتخاب کند. به هر حال هدف این سؤال تقویت قدرت استدالل دانشآموز و کاربرد ریاضی در زندگی است. تمرین 4 صفحه 117: حجم هر شکل به چندین روش قابل محاسبه است و تمامی روشهای درست قابل قبول است. روش او ل: حجم مکعب سوم + حجم مکعب مستطیل دوم + حجم مکعب مستطیل او ل = حجم شکل = 2 * 2 * * 2 * * 2 * سانتیمترمکعب = =

184 2 2 2 روش دوم: حجم مکعب مستطیل پایینی + حجم مکعب مستطیل وسطی + حجم مکعب باالیی = حجم شکل = 2 * 2 * * 4 * * 6 * سانتیمترمکعب = = 2 2 روش سوم: شش برابر حجم یک مکعب = حجم شکل = 6 * )2 * 2 * 2( = 6 * 8 = 48 سانتی متر مکعب در حالت دشوارتر ممکن است دانش آموز بخواهد مکعب را کامل کرده و با کم کردن فضای خالی از کل شکل حجم قسمت رنگی را محاسبه کند. به همین ترتیب در تمرین 4 شکل سمت چپ هم به چند روش می تواند حل شود. ساده ترین روش عبارت است از: حجم مکعب مستطیل فضای خالی - حجم مکعب مستطیل کلی = حجم شکل = 9 * 5 * 6-4 * 4 * 5 سانتی متر مکعب = = ٤ ٤ ۵ 9 176

185 تمرین 5 صفحه 117: هدف تخمین زدن است. مهارتی که بسیاری از بزرگساالن ما هم در آن آموزش مناسب ندیده اند. قسمت الف( به سادگی قابل حل است. قسمت ب( حجم چه چیزی ممکن است صد سانتی متر مکعب باشد جعبه ای در ابعاد مثال 5 و 5 و 4 یا یک جامدادی. هزار سانتی متر مکعب چطور این فضا در واقع نشان دهنده حجم یک لیتر است. پس هر جعبه ای که تقریبا به اندازه 1 لیتر گنجایش داشته باشد می تواند جواب مسئله باشد مثل جعبه دستمال کاغذی. دقت کنید که هزار سانتی متر مکعب ده برابر صد سانتی متر مکعب است. لذا کافی است اشاره شود که هزار سانتی متر مکعب اندازه جعبه ای است که در آن 10 تا جامدادی جا می شود. صد هزار سانتی مکعب صد برابر جعبه قبلی است. یعنی جعبه ای با ابعاد حدودی 50 و 50 و 40 یا جعبه ای که بشود درون آن 100 جعبه دستمال کاغذی چید. تمرین 6 صفحه 127: جزء سؤاالت باز پاسخ است که اگر اعداد اعشاری را لحاظ کنیم بی نهایت جواب خواهد داشت. لذا با خواستن 3 جواب آن را محدود کرده ایم. مثل }6 و 2 و 4{ یا }12 و 2 و 2{ یا }4 و 4 و 3{. استفاده از روش هایی که شکل را به کمک خط چین به 3 مکعب مستطیل مجزا تقسیم می کند نیز کامال صحیح است. 177

186 درس چهارم گنجایش اهداف 1 واحد اندازهگیری حجم مایعات را بداند. 2 با واحد لیتر سانتیمتر مکعب سی سی و میلیلیتر آشنا باشد. 3 بتواند لیتر را به میلیلیتر و برعکس تبدیل کند. روش تدریس این درس در واقع جمع بندی کل مطالب ارائه شده در خصوص گنجایش در پایه های قبلی است و عالوه بر آن واحد سی سی هم به دانش آموزان معرفی می شود. در این فعالیت هم نظیر آنچه در درس قبل آمده بود ابتدا دانش آموز مفهوم گنجایش را در شماره 1 فعالیت مرور و یادآوری می کند و در فعالیت 2 و 3 ضرورت استفاده از واحد استاندارد را متوجه می شود. در آخر واحد لیتر به او معرفی شده و دانش آموز با کاربرد یک مثال روزمره می تواند حجم یک لیتر را تخمین زده و تصور کند. در فعالیت صفحه بعد از دانش آموز خواسته می شود که با دقت به محیط اطراف نمونه هایی از کاربرد لیتر را مثال بزند. در شماره سوم هدف این است که ضرورت استفاده از واحدهای کوچک تر از لیتر توسط دانش آموز درک شود. در این کتاب اشاره ای به مفاهیم متر مکعب و نخواهد شد. فقط کافی است دانش آموز با واحد لیتر و میلی لیتر سی سی یا سانتی متر مکعب آشنا شود. 178

187 حل برخی تمرین ها کار در کالس 2 صفحه 120: برای اندازه گیری حجم جامدات غیرمنظم طراحی شده است. با توجه به اینکه سطح آب 10cc افزایش داشته لذا حجم سنگ 10 سانتی متر مکعب است. کار در کالس 3 صفحه 120: هدف تبدیل اعداد اعشاری و کسری به یکدیگر و تبدیل واحدهاست. سؤال 4 صفحه 120: هدف باز هم گره زدن ریاضی با زندگی روزمره و نیز پرورش مهارت های اقتصادی دانش آموز است. هدف این است که دانش آموز بداند برای داشتن یک لیتر شیر بهتر است یک پاکت یک لیتری 2500 تومانی انتخاب کند نه 4 پاکت 250 میلی لیتری 2800 تومانی. در قسمت )پ( با توجه به هدف سؤال که تهیه ماست است 2/5 لیتر شیر موردنیاز می تواند به 3 روش تأمین شود: 3 پاکت شیر بزرگ بخرد = * 3 2 پاکت شیر بزرگ و 2 پاکت شیر کوچک بخرد = * * 2 10 پاکت شیر کوچک بخرد = * 10 لذا اگر نیلوفر فقط 7000 تومان داشته باشد بهتر است روش دوم را انتخاب کند که از همه به صرفه تر است. تمرین 5 صفحه 121: طول 10 سانتی متری برای ماهی جزء اطالعات اضافی در صورت مسئله است. هدف این است که دانش آموز با سؤاالتی مواجه شود که اطالعات اضافی داشته باشد و دانش آموز تشخیص دهد استفاده از کدام اطالعات ضروری است و کدام اطالعات ربطی به پاسخ مسئله ندارد. این مسئله به کمک تناسب به راحتی قابل حل است. در بقیه تمرین های این صفحه کار با اعداد اعشاری و کسری و تبدیل واحدهای اندازه گیری حجم مایعات مدنظر است. 179

188 مرور فصل فرهنگ نوشتن هدف این است که دانش آموز با لمس اجسام دو بعدی و سه بعدی و بیان ویژگی های آن به زبان خودش هم فهم عمیق تری از اشکال هندسی پیدا کند و هم گفتمان ریاضی را تمرین کند. این فعالیت می تواند به شکل شفاهی انجام شود و اصراری به نوشتن ویژگی ها نیست. 6 در تمرین 1: هدف این است که با توجه به جدول دانشآموز تأثیر مستقیم چند برابر شدن یا نصف شدن شعاع و قطر را در اندازه محیط دایره ببیند و تشخیص دهد. پاسخ تمرین 3 صفحه 123 الف( قطرهای لوزی برابرند: گاهی ب( دو تا از ضلعهای ذوزنقه موازیاند: همیشه پ( قطرهای لوزی برهم عمودند: همیشه ت( دوتا از ضلعهای ذوزنقه مساویاند: گاهی ث( میتوانیم یک ذوزنقه با 3 زاویه قائمه رسم کنیم: هیچوقت ج( ذوزنقه دو زاویه راست دارد: گاهی در تمرین چهارم هدف محاسبه مستقیم مساحت ذوزنقهها در شکل او ل و دوم نیست. به همین دلیل همه اندازهها داده نشده است. این به این خاطر است که دانشآموز به تفکر واداشته شود و نگاه ابزاری و رویهای نداشته باشد. مساحت مربع کوچک - مساحت مربع بزرگ = مساحت قسمت رنگی سانتی مترمربع = =

189 روش او ل: مساحت متوازیاالضالع - مساحت مستطیل = مساحت قسمت رنگی = 8 * 5-2 * 5 ۸ سانتیمتر مربع = = ۵ 2 روش دوم: سانتی متر مربع = 30 5 * 6 = مساحت مستطیل = مساحت قسمت رنگی ۸ ۵ 6 2 معم ا و سرگرمی هدف از طراحی این معما کار با ابزار اندازه گیری )خط کش( است و در عین حال دقت دانش آموز در قالب انجام بازی سنجیده می شود. 181

190 7 آمار و احتمال نگاه کلی به فصل این فصل شامل سه درس است. در درس او ل روشهای جمعآوری دادهها )مشاهده کردن پرسیدن استفاده از پرسشنامه مراجعه به کتابها یا سایتها و اندازهگیری( و روشهای نمایش دادهها )جدول دادهها نمودار ستونی نمودار تصویری نمودار خط شکسته و نمودار دایرهای( به کمک مثالهای مختلف مرور شدهاند. در مواردی هم به مصادیق استفاده از یک مورد بهطور مستقیم پرداخته شده است. در درس دوم مفهوم میانگین یا متوسط دادهها معرفی شده است و بازنماییهای مختلفی از این مفهوم ارائه شده است همچنین دو روش برای محاسبه میانگین در این درس پیشنهاد شده است. در درس سوم مفهوم احتمال مورد توجه قرار گرفته است و ضمن یادآوری مفاهیم سالهای گذشته بازیهای شانسی عادالنه و ناعادالنه معرفی و شانس برد در بازیهای شانسی مورد بررسی قرار گرفته است.

191 شبکه مفهومی مشاهده کردن پرسیدن استفاده از پرسشنامه مراجعه به منابع اندازه گیری جدول دادهها نمودار ستونی نمودار تصویری نمودار دایرهها نمودار خط شکسته جمع آور ی داده ها نمایش داده ها میانگین داده ها داده داده های تصادفی احتمال مولد داده های تصادفی امکان بازی شانسی تاس سکه چرخنده حتمی ممکن غیرممکن بازی عادالنه بازی ناعادالنه احتمال کمتر احتمال برابر احتمال بیشتر متوسط داده ها محاسبه میانگین تصویر عنوانی در بسیاری از برنامه ریزی ها سیاست گذاری ها از علم آمار استفاده می شود. داده ها منابع مهمی برای تصمیم گیری هستند. گاهی استفاده از علم آمار می تواند از فاجعه ای که در حال رخ دادن است جلوگیری کند. تصویر عنوانی این فصل به یکی از این موارد یعنی کاهش سطح جنگل های ایران و بازیافت کاغذ به عنوان یکی از راه های جلوگیری از این فاجعه اختصاص یافته است. در طول فصل نیز اشاره هایی به این موضوع دیده می شود. دانستنی هایی برای معلم علم آمار علم جمع آوری نمایش تغییر و تحلیل داده هاست. در این علم از روش های مختلفی از جمله مشاهده کردن پرسشنامه رجوع به کتب سایت و منابع و همانطور که در درس اول این فصل بیان شده است برای جمع آوری اطالعات و داده ها استفاده می شود. پس از جمع آوری داده ها برای استفاده راحت تر از آنها و طبقه بندی داده ها از جدول داده ها استفاده می شود. 183

192 پس از خالصه نویسی و طبقه بندی داده ها در جدول داده ها به منظور نمایش بهتر داده ها و با هدف اینکه داده های جمع آوری شده به گونه ای نمایش داده شود که در سریع ترین زمان ممکن جمع بندی از داده ها به صورت بصری به مخاطبین منتقل شود از انواع نمودارها استفاده می شود. انواع نمودارها شامل نمودار ستونی نمودار تصویری نمودار خط شکسته نمودار دایره ای نمودار هیستوگرام و هست. هر یک از نمودارهای بیان شده با هدف خاصی مورد استفاده قرار می گیرد. به عنوان نمونه از نمودار ستونی برای مقایسه داده ها استفاده می شود و با استفاده از آن می توان بیشترین و کمترین داده ها و میزان اختالف داده ها با یکدیگر را نمایش داده به طور معمول از نمودار خط شکسته برای نمایش میزان تغییرات یک یا چند کمیت مورد مطالعه و از نمودار دایره ای برای نمایش سهم هر داده از کل داده ها استفاده می شود. برای تحلیل داده های جمع آوری شده در علم آمار از شاخص ها و معیارهای مختلفی استفاده می شود. این شاخص ها به طور کلی به دو دسته شاخص های مرکزی و شاخص های پراکندگی تقسیم بندی می شود. شاخص های مرکزی معیارهایی هستند که اطالعاتی در مورد محل تمرکز داده ها ارائه می کند. این شاخص ها شامل میانگین میانه نما )مد( می باشند. شاخص های پراکندگی اطالعاتی درخصوص نحوه توزیع و پراکندگی داده ها ارائه می کنند. دامنه تغییرات انحراف از معیار واریانس ضریب پراکندگی و تعدادی از شاخص های پراکندگی هستند. جهت کسب اطالعات بیشتر در مورد شاخص های مرکزی و پراکندگی می توان به کتاب ها و منابع مرتبط با آمار مراجعه کرد. میانگین یا متوسط داده ها شاخص مرکزی در علم آمار است که انواع مختلفی دارد. میانگین حسابی میانگین هندسی میانگین وزنی و میانگین همساز انواعی از میانگین هست که با توجه به کاربردهای مختلفی که هر یک دارند مورد استفاده قرار می گیرند. میانگین حسابی یکی از انواع میانگین هست که بیشتر در کتاب های درسی ریاضی پایه اول تا نهم مورد استفاده قرار می گیرد. برای محاسبه میانگین حسابی داده ها از فرمول زیر استفاده می شود: مجموع داده ها = میانگین حسابی تعداد داده ها به عنوان مثال میانگین پنج عدد و 10 به صورت زیر محاسبه می شود: = =

193 محاسبه میانگین فقط از این روش محاسبه نمی شود بلکه روش های دیگری برای محاسبه آن وجود دارد. یکی از آن روش ها استفاده از میانگین فرضی برای محاسبه میانگین حسابی است. در این روش عدد دلخواهی به عنوان میانگین فرضی در نظر گرفته می شود و براساس آن با استفاده از فرمول زیر میانگین حسابی محاسبه می شود: مجموع اختالف هر داده با میانگین فرضی + میانگین فرضی= میانگین حسابی تعداد داده ها به عنوان نمونه برای محاسبه میانگین حسابی پنج عدد و 10 با استفاده از میانگین فرضی اگر میانگین فرضی 10 در نظر گرفته شود ابتدا اختالف هر یک از داده ها با میانگین فرضی محاسبه می شود: 10-10= = = =7 6-10=-4 سپس مجموع اختالف داده ها با میانگین فرضی محاسبه می شود: )-4(= = مجموع اختالف داده ها بامیانگین فرضی میانگین حسابی براساس فرمول زیر حساب می شود: مجموع اختالف دادهها با میانگین فرضی +10= 10 + میانگین فرضی= میانگین حسابی تعداد دادهها 5 =10+2=12 روشهای دیگری نیز برای محاسبه میانگین حسابی وجود دارد که عالقمندان میتوانند برای اطالع از آنها به کتابهای آماری مراجعه کنند. میانگین حسابی دارای خواصی هست که به تعدادی از آنان در زیر اشاره میشود: خواص میانگین حسابی: 1 میانگین حسابی تعدادی مقدار ثابت همان مقدار ثابت هست. به عنوان نمونه میانگین حسابی همان 6 هست = =

194 2 اگر به هر یک از داده ها مقدار ثابتی کم یا اضافه شود به مقدار میانگین حسابی نیز همان مقدار ثابت اضافه یا کم خواهد شد. این خاصیت را در قالب مثال زیر می توان بیان کرد: هر یک از داده ها را با 8,10,12,7,5,18 12,14,16,11,9,22 عدد 4 جمع می کنیم میانگین حسابی = = 10 6 میانگین حسابی = = = مجموع اختالف داده ها از میانگین حسابی همیشه صفر است. 20,18,14,3,10,10,11,2 میانگین حسابی = = = = = 7 =11 14 اختالف دادهها 3 مجموع اختالف 3 11= 8 11= 1 10 از میانگین ( 8) + ( 1) + ( 1) + 0+ ( 9) = = 0 داده از میانگین 10 11= = = 9 میانگین همساز: میانگین همساز یکی از انواع میانگین است که معموال برای محاسبه متوسط سرعت مطالعه در شبکه های برق عینک شناسی و کاربرد دارد. در این میانگین در صورتی که تعدادی داده مانند x 1, x 2, x... n همگی مخالف صفر و هم عالمت باشند )یعنی یا همگی مثبت و یا همگی منفی باشند( میانگین همساز آنها با استفاده از فرمول زیر به دست می آید: تعداد داده ها میانگین همساز n = x x x 1 2 n 186

195 به عنوان مثال برای محاسبه میانگین همساز چهار عدد 10,7,6 و 1 به صورت زیر عمل می کنیم: = 4 = = = = میانگین همساز 105 = از این میانگین در مواردی استفاده میشود که باید میانگین نسبتهایی را محاسبه کرد که صورت و مخرج آنها دارای واحدهای یکسانی نیستند. مثال: اتومبیلی فاصله بین دو شهر A و B را که 90 کیلومتر است با سرعت متوسط 60 کیلومتر در ساعت پیمود و با سرعت 35 کیلومتر در ساعت برگشته است. سرعت متوسط در رفت و برگشت را محاسبه کنید. حل: ابتدا مسئله را از رابطه فیزیکی حل میکنیم تا جواب صحیح را پیدا کنیم. این اتومبیل 1/5 ساعت زمان رفت و 3 ساعت زمان برگشت داشته یعنی 4/5 ساعت در راه بوده و 180 کیلومتر مسافت را پیموده است پس سرعت متوسط برابر است با: مسافت x km = = = V سرعت t 4 / 5 n زمان اگر این مسئله را با میانگین حسابی حل میکردیم حاصل به صورت زیر بهدست میآمد: و اگر از میانگین همساز استفاده کنیم: + km = n km = = = 2 = n مالحظه می کنیم که برای آنکه پاسخ صحیح به دست آید از میانگین همساز استفاده شود. میانگین حسابی میانگین همساز احتمال احتمال یکی از شاخههای علم آمار است که در آن وقوع یک اتفاق تصادفی )اتفاقی که از قبل قابل پیشبینی دقیق نیست( مورد برآورد و تخمین قرار میگیرد. آنچه در آموزش مفهوم احتمال میتواند به درک بهتر دانشآموزان از این مفهوم کمک کند این است که آنان قبل از درگیر شدن با مفهوم ریاضی احتمال با استفاده از تجربه و به صورت عملی و با تکرار و آزمایش درک تجربی از این مفهوم داشته باشد. 187

196 در کتاب های درسی جدیدالتألیف ریاضی نیز در گام اول رویکرد تجربی به احتمال مد نظر بوده است. پس از آن درگام دوم رویکرد ذهنی مورد نظر قرار گرفته است یعنی طرح آزمایش های ذهنی با تعداد تکرارهای بسیار زیاد و پیش بینی کلی یک آزمایش تصادفی. پس از این دو گام دانش آموزان آماده وارد شدن به مباحث کالسیک احتمال یعنی سفارش حالت های ممکن و مطلوب و نسبت دادن عدد به احتمال رخ دادن یک اتفاق هستند. این گام در کتاب های متوسطه )1( مورد توجه قرار گرفته است. تعداد حالت های مطلوب برای رخ دادن آن اتفاق در رویکرد کالسیک احتمال رخ دادن یک اتفاق برابر است با = تعداد کل حالت های ممکن مثال: در پرتاب یک تاس: احتمال اینکه عدد زوج بیاید به صورت زیر محاسبه می شود: 3: تعداد حالت های مطلوب = 2,4,6 حالت های مطلوب )زوج آمدن تاس( 6: تعداد کل حالت های ممکن = 1,2,3,4,5,6 کل حالت های ممکن 3 1 = = احتمال زوج آمدن تاس 6 2 بر این اساس در هر آزمایش ابتدا باید همه حالت های ممکن هم شانس را پیدا کنیم و سپس در میان آنها حالت های مطلوب را مشخص کنیم. مثال: در پرتاب دو تاس احتمال آنکه مجموع عددهای روی دو تاس 5 باشد به صورت زیر محاسبه می شود: احتمال 5 بودن مجموع عددها 4: تعداد حالت های مطلوب 36: تعداد حالت های ممکن 4 1 = =

197 توسعه مفاهیم 1 انجام پروژه های آماری شامل جمع آوری انتخاب نوع نمایش بررسی و تفسیر داده ها در موضوعات مختلف می تواند مسیر مناسبی برای توسعه مفاهیم درس او ل این فصل باشد. 2 اگر مفهوم میانگین به خوبی درک شده باشد می توان روش های گوناگونی برای محاسبه آن یافت و میانگین را به شکلی ساده تر و حتی ذهنی محاسبه کرد. ایجاد فرصت در کالس درس و طرح مسئله برای یافتن روش های گوناگون به درک مفهوم میانگین و توسعه آن کمک می کند. 3 تجربه انجام بازی های شانسی و جمع آوری داده های مربوط به آن می تواند به دانش آموزان کمک کند تا تصور بهتری از مفهوم احتمال داشته باشند و برای برداشتن گام های بعدی در یادگیری احتمال آماده تر شوند. استفاده از ابزار و تکنولوژی معموال برای انجام آزمایشهای تصادفی از سکه و تاس استفاده میکنیم.سکه و تاس سادهترین نوع مول دهای تصادفی هستند.برای آنکه بتوانید آزمایشهای تصادفی را بارها و بارها تکرار کنید میتوانید از م و ل دهای تصادفی م جازی generators( ١ )virtual random استفاده کنید. سایتهای مختلفی این امکان را برایتان فراهم میکنند و معموال با یک جستجوی ساده میتوانید ابزار مورد نظرتان را بیابید. سایت این امکان را برایتان فراهم میکند که مولد اعداد تصادفی دلخواه خودتان را بسازید. مثال در صفحه او ل سایت کافیست کمترین مقدار مورد نظرتان را در جعبه Min و بیشترین مقدار مورد نظرتان را در جعبه Max وارد کنید و با کلیک روی Generate نتیجه آزمایش را که یک عدد صحیح تصادفی از میان کمترین تا بیشترین مقدار داده شده است در قسمت Result ببینید. ١ مولدهای تصادفی مجازی برنامه های رایانه ای هستند که پرتاب سکه و تاس در آن شبیه سازی شده است. در این برنامه ها معموال امکان جمع آوری داده های مربوط به تعداد زیادی آزمایش وجود دارد. 189

198 یا مثال در صفحه پرتاب تاس به آدرس می توانید تعداد تاس هایی را که می خواهید پرتاب کنید در جعبه Roll Virtual Dice انتخاب کنید و با کلیک روی Roll Dice نتیجه را ببینید. در تصویر زیر نتیجه پرتاب 30 تاس آمده است. این سایت تعدادی نرم افزار مولد تصادفی هم در اختیارتان قرار می دهد که می توانید روی تلفن های همراهتان نصب کنید. نرم افزار Excel برای وارد کردن داده ها و رسم نمودارها بسیار ساده و در دسترس است. پیشنهاد می شود در این فصل بیشتر به سراغ این نرم افزار بروید. نمونه سؤال هایی برای ارزشیابی الزم به ذکر است که این سؤال ها به عنوان نمونه است و به روش های مختلف و در موقعیت های مختلف معلم می تواند از آنها استفاده کند. 1 با استفاده از هر یک از نمودارهای صفحه بعد اطالعات خواسته شده در جدول مقابل از نمودارها را کامل کنید. 190

199 میزان بارندگی کلی هفته اول مهر ماه 1٤ ۸ 6 ٤ 2 شهر اهواز تهران ساری مشهد خط نشان میزان بارندگی مشهد ساری تهران اهواز ماه های سال فروردین اردیبهشت خرداد تیر مرداد شهریور شهریور مرداد تعداد روزهای ناسالم شهر تهران طی شش ماه اول سال تیر خرداد اردیبهشت فروردین 2۸ 26 2٤ ۸ 16 1٤ در کدام ماه تعداد روزهای ناسالم نسبت به ماه های قبل کمترین افزایش را داشته است تعداد روزهای ناسالم در کدام ماه بیشترین افزایش را نسبت به ماه های قبل خود داشته است در کدام ماه ها تعداد روزهای ناسالم نسبت به ماه های قبل خود کاهش داشته است سهم هزینه علی طی هفته گذشته از تومان پول خود نوع هزینه بلیط سینما خرید خوراکی کرایه ماشین خرید کتاب خرید هدیه برای دوستش درصد مقدار )تومان( 3٧/۵% 12/۵% بلیط 12/۵% خرید سینما خوراکی خرید کتاب کرایه ماشین خرید هدیه برای دوستش 12/۵% 191

200 2 برای پاسخ گفتن به هر یک از سؤاالت زیر کدام یک از روش های جمع آوری اطالعات )مشاهده کردن پرسیدن استفاده از پرسشنامه مراجعه به کتاب ها و سایت ها و اندازه گیری( را پیشنهاد می کنید تعداد ضربان قلب یک کودک در هر دقیقه تعداد همکالسی های عالقمند به ورزش شنا میزان عالقمندی هر یک از دانش آموزان پایه پنجم مدرسه به درس های پایه پنجم ابتدایی تعداد دانش آموزانی که امروز با پیراهن سفید به مدرسه آمدند. جدول زیر تعداد دانش آموزان شرکت کننده در جشن نیکوکاری مدرسه طی روزهای هفته را نشان می دهند مشخص کنید به طور متوسط در هر روز چند دانش آموز در این جشن شرکت کرده اند اگر بخواهید درصد افراد شرکت کننده در جشن در هر روز نسبت به تعداد کل شرکت کنندگان را با نموداری نمایش دهید از چه نموداری استفاده می کنید روزهای هفته شنبه یکشنبه دوشنبه سهشنبه چهارشنبه تعداد افراد شرکت کننده میانگین شش عدد و 19 را بدست آورید. 5 میانگین پنج عدد مختلف 80 شده است مجموع این عددها چند است 6 میانگین سه عدد مختلف 8 شده است. اگر یکی از این اعداد 2 باشد دو عدد دیگر چه عددهایی می توانند باشند 7 جاهای خالی را با کلمات مناسب پرکنید. )پاسخ این سؤاالت می تواند با توجه به تجربه های شخصی دانش آموزان متفاوت باشد( علی چون اصال مسواک نمی زند...دندان هایش خراب می شود. فاطمه چون به طور منظم مسواک می زند... دندان هایش سالم می ماند.... اینکه در تابستان برف بیاید...است. 192

201 در یک بازی شانسی عادالنه... برد من با بازیکن دیگر... است. 8 در هر یک از بازیهای زیر بازیهای عادالنه و ناعادالنه را مشخص کنید و علت ناعادالنه بودن بازی را بنویسید. تاسی را میاندازیم اگر 3 1 و 5 آمد بازیکن اول برنده است و در غیر این صورت بازیکن دوم. بازیکن بازیکن دوم هر یک از بازیکنان شروع در بازی مقابل اول تاس را می اندازند و با هر بار شش آمدن یک خانه از خانه شروع به سمت خانه مربوط به خود می روند. در کیسه ای 10 تیله وجود دارد. 3 تای آنها آبی 3 تای آنها قرمز و 4 تای آنها سبز است. اگر بدون نگاه کردن به داخل کیسه یک تیله برداریم اگر آبی بود بازیکن اول برنده است و اگر قرمز بود بازیکن دوم برنده است. 9 چرخنده مقابل را طوری رنگ کنید که بازی بازی عادالنه ای برای دو بازیکن باشد. معرفی منابع ١ رشد برهان متوسطه )١( سال تحصیلی شماره های ٢ کمک به کودکان در یادگیری ریاضیات رابرت. ای. ریس مرلین. ن. سایدام و مری مونتگومری لیندکوئسیت ترجمه مسعود نوروزیان 1391 انتشارات مدرسه چاپ ششم. ٣ آموزش ریاضیات در دبستان روبین یورگنسن و شلی دال ترجمه دکتر امیرحسین آشنا 1393 انتشارات بینش نو ویرایش دوم. 193

202 چکلیست ارزشیابی ردیف بسیار خوب خوب قابل قبول نیازمند تالش و آموزش به کمک روش های جمع آوری داده داده ها را جمع آوری می کند و در جدول قرار می دهد. 1 به کمک جدول داده ها نمودار ستونی رسم می کند. 2 به کمک جدول داده ها نمودار دایره ای رسم می کند. 3 به کمک جدول داده ها نمودار خط شکسته رسم می کند. 4 می تواند داده های مختلف را روی نمودارها پیدا کند. 5 نمودار مناسب برای نمایش داده ها را از میان ستونی خط شکسته و دایره ای انتخاب می کند. 6 7 با مفهوم میانگین آشناست. 8 می تواند میانگین داده ها را محاسبه کند. می تواند مسئله های مربوط به میانگین را حل کند با مفهوم احتمال آشناست. از عبارت های غیرممکن احتمال کمتر احتمال برابر احتمال بیشتر و حتمی برای بیان امکان رخ دادن یک اتفاق استفاده می کند. 11 عادالنه یا ناعادالنه بودن بازی های شانسی ساده را تعیین می کند